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2023-02-02
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计算极限时,使用泰勒展开式代入是为了提高该式子的阶数,从而代入后整个式子不为零,最后能够更加精确地得到极限值。
如右图中,已知sinx的泰勒展开式是sinx=x-1/6x^3+1/240x^5+......
当sinx+x时,sinx只取到x时可得2x。如果,再取一个后会发现与x相加后为(2x-1/6x^3),而(2x-1/6x^3)再与右边的式子相乘的结果是-1/3x^4+1/36x^6,由此可知,1/36x^6包含在o(x^4)这个无穷小的范围之内。所以,就不用取到第二个了,省略即可。
而sinx-x时,sinx如果只取x的话,与另一个x相减后为零,结果就为0了。而如果再取多一项,得到的结果就是-1/6x^3,比零来的精确,所以此时去两项更准确。
左图,同理可得,再多取一项对于结果来说都可以并入后面的无穷小中,不会影响得数。
如右图中,已知sinx的泰勒展开式是sinx=x-1/6x^3+1/240x^5+......
当sinx+x时,sinx只取到x时可得2x。如果,再取一个后会发现与x相加后为(2x-1/6x^3),而(2x-1/6x^3)再与右边的式子相乘的结果是-1/3x^4+1/36x^6,由此可知,1/36x^6包含在o(x^4)这个无穷小的范围之内。所以,就不用取到第二个了,省略即可。
而sinx-x时,sinx如果只取x的话,与另一个x相减后为零,结果就为0了。而如果再取多一项,得到的结果就是-1/6x^3,比零来的精确,所以此时去两项更准确。
左图,同理可得,再多取一项对于结果来说都可以并入后面的无穷小中,不会影响得数。
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追问
想请教下为什么“1/36x^6包含在o(x^4)这个无穷小的范围之内”?
追答
因为o(x^4)的意思是包含x^4及以上阶数的所有无穷小,如x^5、x^6、x^7等等。而1/36x^6的意思是x^6的1/36,1/36不影响无穷小阶数,所以此式子的无穷小量是6次,自然包含在o(x^4)以内。
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一般使用泰勒展开公式去计算极限的时候,要确定展开到多少项,是要根据没有展开的其他项进行确定的
因为如果你展开少了,那么他将不能和其他项进行配合,约掉相同的无穷小量
如果你展开多了,影响倒是不大,因为相对无穷,小量更小的话,那就可以判断是趋向于零或者是趋向于无穷
就拿你第二道题来说,因为它分母是x的三次方,所以你使用泰勒公式展开的时候,就至少要把x的三次方那一项展开出来,后面写成三次方的无穷小这种形式
因为如果你展开少了,那么他将不能和其他项进行配合,约掉相同的无穷小量
如果你展开多了,影响倒是不大,因为相对无穷,小量更小的话,那就可以判断是趋向于零或者是趋向于无穷
就拿你第二道题来说,因为它分母是x的三次方,所以你使用泰勒公式展开的时候,就至少要把x的三次方那一项展开出来,后面写成三次方的无穷小这种形式
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