Question

已知xyz=-6,x+y+z=2,x^2+y^2+z^2=14,求代数式1/(xy+2z)+1/(yz+2x)+1/(zx+2y)

快快快，很急

Answer 1

原理:
将代数式 1/(xy+2z)+1/(yz+2x)+1/(zx+2y) 变换为用xyz ,x+y+z,x^2+y^2+z^2表示的式子

(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz=4
xy+xz+yz=(4-14)/2=-5

xy+2z=xy+(x+y+z)z=xy+xz+yz+z^2=-5+z^2
又xy=-6/z xy+2z=-6/z+2z
1/(xy+2z)=1/(-5+z^2) =1/(-6z+2z）＝z/(2z^2-6)
所以z(-5+z^2)=2z^2-6 z^3 -2z^2-5z+6=0
z^3-z^2 -z^2-5z+6=z^2(z-1) -(z^2+5z-6)
=z^2(z-1)-(z+6)(z-1) =(z-1)(z^2-z-6)=0
得z1=1 z2=-1 z3=6
将z1=1代入xyz=-6得 xy=-6 代入x+y+z=2 得 x+y=1 x=3 y=-2
x=3 y=-2 z=1 代入x^2+y^2+z^2= 9+4+1=14符合条件
所以将x=3 y=-2 z=1代入原式=-1/4+1/4 -1=-1

追问

还能在写清楚点吗，就是如何把原式变成用xyz ,x+y+z,x^2+y^2+z^2表示的式子

追答

不用这么求了 这样求太复杂
我这里是求出x,y,z的值 来求更好
x=3 y=-2 z=1 (注意 对称性 这个x,y,z的解只是一种)

Answer 2

解：②²﹣③得，2（xy+yz+zx)=-10

xy+yz+zx=-5

∴x、y、z是方程A³-2A²-5A-6=0的根。

A³-2A²-5A-6=(A³-2A²+A)-6（A+1)=(A+1)(A²-A-6)=(A+1)(A-3)(A+2)

∴三个根：-2、-1、3

不妨设x=-2，y=-1，z=3

∴xy+2z=8 yz+2x=-7 zx+2y=-8

∴原式=1/8+1/(-7)+1/(-8)=-1/7

追问

额。。。。。。。哪里有：②²﹣③？

追答

机械。
（x+y+z)²-(x²+y²+z²)

追问

那。。。。。你的答案是错的，我们老师说是-1

不过还是O(∩_∩)O谢谢

追答

扯淡。你们老师是错的。
你把我的过程给你的老师看看，他就知道错了。
这是31年来的标准答案。

Answer 3

(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz=4
xy+xz+yz=-5
1/x+1/y+1/z=5/6
(x+y)/(xy)+1/z=5/6
(z-2)z/6+1/z=5/6
z^3-2z^2-5z+6=0
解得z=-2,1,3
将其带入
原式=-1