Question

已知向量a=(5根号3cosx,cosx),b=(sinx,2cosx)，记函数f(x)=向量a*向量b+|向量b|^2

1 求f(x)的最小正周期（要详细过程）对称中心 ）（2）当π/12<=x<=π/3时，方程f（x）=a+7/2有两个不相等的实根，求实数a的取值范围

Answer 1

a=(5√3cosx,cosx)，b=(sinx,2cosx)
故：a·b=5√3sinxcosx+2cosx^2
故：f(x)=a·b+|b|^2=5√3sinxcosx+2cosx^2+sinx^2+4cosx^2
=5√3sin(2x)/2+5cosx^2+1
=5√3sin(2x)/2+5(1+cos(2x))/2+1
=5√3sin(2x)/2+5cos(2x)/2+7/2
=5sin(2x+π/6)+7/2
1
f(x)的最小正周期：T=2π/2=π
对称中心：2x+π/6=kπ
即：x=kπ/2-π/12，即：(kπ/2-π/12,7/2)，k∈Z
2
f(x)=a+7/2，即：5sin(2x+π/6)+7/2=a+7/2
即：5sin(2x+π/6)=a有2个不等实根
x∈[π/12,π/3]，故：2x+π/6∈[π/3,5π/6]
即：5sin(2x+π/6)∈[5/2,5]
当a=5时，5sin(2x+π/6)=a有1个实根
当a∈[5/2,5√3/2)时，5sin(2x+π/6)=a有1个实根
当a∈[5√3/2,5)时，5sin(2x+π/6)=a有2个不等实根