微分方程2yy'-xy^2=xe^x满足初始条件y(0)=1的特解
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令z=y^2
dz/dx=2y(dy/dx)=2yy'
所以原方程变为
z'-xz=xe^x
z(0)=y(0)^2=1
然后利用积分因子
e^(∫-xdx)
=e^(-x^2/2)
两边同乘，左边是一全微分
(ze^(-x^2/2))'=xe^(x-x^2/2)
两边积分
ze^(-x^2/2)=∫<0,x> te^(t-t^2/2) dt +C
z=e^(x^2/2)[∫<0,x> te^(t-t^2/2) dt +C]
代入x=0,z=1
1=C
所以
z=e^(x^2/2)[∫<0,x> te^(t-t^2/2) dt +1]
y=e^(x^2/4)[∫<0,x> te^(t-t^2/2) dt +1]^(1/2)
dz/dx=2y(dy/dx)=2yy'
所以原方程变为
z'-xz=xe^x
z(0)=y(0)^2=1
然后利用积分因子
e^(∫-xdx)
=e^(-x^2/2)
两边同乘，左边是一全微分
(ze^(-x^2/2))'=xe^(x-x^2/2)
两边积分
ze^(-x^2/2)=∫<0,x> te^(t-t^2/2) dt +C
z=e^(x^2/2)[∫<0,x> te^(t-t^2/2) dt +C]
代入x=0,z=1
1=C
所以
z=e^(x^2/2)[∫<0,x> te^(t-t^2/2) dt +1]
y=e^(x^2/4)[∫<0,x> te^(t-t^2/2) dt +1]^(1/2)
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