Question

高数题～～

Answer 1

证明：
给出证明，求解没有什么难度，就略去了！

对该二元函数求一阶全微分，则：
df(x,y)=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy
根据全微分的定义，
df(x,y)=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)
dx=Δx
dy=Δy
因此：
f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)=fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy+o(ρ)，ρ=√[(Δx)²+(Δy)²]
即：
f(x+Δx,y+Δy)=f(x,y)+fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy+o(ρ)
当|x|和|y|非常小时，x+Δx和x相差很小，同理，y+Δy和y相差很小，因此：
f(x+Δx,y+Δy) ≈ f(x,y)+fx(x,y)x+fy(x,y)y+o(ρ)
又因为，o(ρ)是高阶无穷小，因此：
f(x+Δx,y+Δy) ≈ f(x,y)+fx(x,y)x+fy(x,y)y
因为，f(x,y)是可微函数，因此：

lim(x,y→0) [f(x,y)-f(0,0)]/√(x²+y²) 必然存在
令：lim(x,y→0) [f(x,y)-f(0,0)]/√(x²+y²) = C
于是：
f(x,y)-f(0,0) = C·√(x²+y²) + o[√(x²+y²)]，其中o[√(x²+y²)]是高阶无穷小
显然当|x|,|y|非常小时：
C·√(x²+y²)→0
o[√(x²+y²)]→0
因此：
f(x,y) ≈ f(0,0)
∴
f(x+Δx,y+Δy) ≈ f(0,0)+fx(x,y)x+fy(x,y)y
显然：当|x|,|y|非常小时：
lim(x,y→0) [f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)]/√(Δx²+Δy²)，根据可微，也存在，同理：
f(x+Δx,y+Δy) ≈ f(x,y)
所以：
f(x,y) ≈ f(0,0)+fx(x,y)x+fy(x,y)y

追问

谢谢呢