Question

函数展开成幂级数的疑问

在学泰勒公式部分,我们知道若函数f(x)在x0的某一邻域内具有直到(n+1)阶的导数,则在该邻域内f(x)的n阶泰勒公式为一个多项式+Rn(x)余项,这个公式应该是恒成立的,只要满足函数f(x)在x0的某一邻域内具有直到(n+1)阶的导数,且函数在这个邻域内即可.但是相应的若f(x)在x0的某邻域内存在各阶导数,我们就可以把多项式无穷的写下去,即f(x)=多项式(无穷项),那么相应的这个公式也应该是恒成立的,只要满足f(x)在x0的某邻域内存在各阶导数,且函数在这个邻域内即可吧?如果我说的对,那么请看下面的
但是为什么函数展开成幂级数只在级数的收敛域和函数的定义域的公共部分才成立呢?
如1/1-x=1+x+x^2+....+x^n+...只在(-1<x<1)内才成立?首先声明一下我并不是不懂啥叫收敛域,我也知道级数只有在收敛域内才有研究的必要,我的疑问主要是如果按照我第一段说的理论,只要满足f(x)在x0的某邻域内存在各阶导数,且函数在这个邻域内,这个展开式就是恒成立的(即我认为本应该是1/1-x=1+x+x^2+....+x^n+...在(-∞<x<+∞)内都成立,因为1/1-x在x0=0的无穷邻域上存在任意阶导数),,但是我后来举的这个例子又只在(-1<x<1)内成立,这让我对泰勒公式的意义产生怀疑,感觉前后两者矛盾了.不知道我表述是否清楚,如果有看明白我的意思了的大虾,麻烦回答一下我的问题吧

Answer 1

函数f(x)在x0的某一邻域内具有直到(n+1)阶的导数,则在该邻域内f(x)的n阶泰勒公式为一个多项式+Rn(x)余项,这个公式应该是恒成立的,只要满足函数f(x)在x0的某一邻域内具有直到(n+1)阶的导数,且函数在这个邻域内即可.................................这个对。

若f(x)在x0的某邻域内存在各阶导数,我们就可以把多项式无穷的写下去,即f(x)=多项式(无穷项),那么相应的这个公式也应该是恒成立的,只要满足f(x)在x0的某邻域内存在各阶导数,且函数在这个邻域内即可吧? ..........................................................这个不对！！！

关于这些内容，书上都写的很清楚的，仔细去翻书。

Answer 2