Question

已知x+2y=xy+1,则x+2y的最小值是?

Answer 1

已知 x + 2y = xy + 1，要求 x + 2y 的最小值。
我们可以通过代数运算，将 x 用 y 表示出来，得到 x = (1 - 2y) / (1 - y)。
接下来，我们将这个表达式代入原方程，得到 (1 - y + 2y^2)/(1 - y) = y - 2y^2 + 1/(1 - y)。
然后，我们对该方程求导数，并令导数为 0，得到 y = 1/2。
最后，我们对该方程求二阶导数，并验证在 y = 1/2 时该导数为正数，因此可以确定 y = 1/2 是该方程的最小值。因此，x + 2y 的最小值为 (1 - 2(1/2)) / (1 - 1/2) + 2(1/2) = 2。

Answer 2

用设k法，令x+2y=k,得x=k-2y
代入k=(k-2y)y+1
即2y^2-ky+k-1=0
由y属于R,得判别式=k^2-8(k-1)=k^2-8k+8≥0
解得k≤4-2√2,或k≥4+2√2,
故x+2y的最小值为4+2√2,