Question

已知函数f（x）=a（x-1／x）-2Inx（a属于R）

（1）若直线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l与直线x+2y+1=0垂直，求l
（2）分析f（x）单调性

Answer 1

答：
（1）f(x)=a(x-1/x)-2lnx，x>0
求导得：f'(x)=a+a/x²-2/x
曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+2y+1=0垂直
因为：两直线垂直则斜率乘积为-1，直线斜率为-1/2，则曲线在x=1处的斜率为f'(1)=2
所以：a=0不符合。
所以：f'(1)=a+a-2=2
解得：a=2
所以：f(x)=2(x-1/x)-2lnx
所以：f(1)=0
所以：曲线的切线L的方程为y-f(1)=f'(1)(x-1)，即：y-0=2(x-1)，y=2x-2
所以：切线方程为2x-y-2=0

（2）f'(x)=a/x²-2/x+a=(ax²-2x+a)/x²
2.1）当a=0时：f'(x)=-2/x<0，f(x)是单调减函数；
2.2）当a≠0时：令f'(x)=a/x²-2/x+a=0，即：ax²-2x+a=0
判别式△=4-4a²，令△=0解得a=1或者a=-1
2.2.1）当a<=-1时，抛物线g(x)=ax²-2x+a开口向下，最多有1个零点，g(x)<=0，所以：f'(x)<=0，f(x)是减函数；
2.2.2）当-1<a<0时，抛物线g(x)开口向下，与x轴有两个零点x1=[1+√(1-a²)]/a，x2=[1-√(1-a²)]/a
x<x1或者x>x2时，g'(x)<0，f‘(x)<0，f(x)是减函数；x1<x<x2时，f'(x)>0，f(x)是增函数；
2.2.3）当0<a<1时，抛物线g(x)开口向上，与x轴有两个零点x1=[1+√(1-a²)]/a，x2=[1-√(1-a²)]/a
x2<x<x1时，g'(x)<0，f‘(x)<0，f(x)是减函数；x<x2或者x>x1时，f'(x)>0，f(x)是增函数；
2.2.4）当a>=1时，抛物线g(x)=ax²-2x+a开口向上，最多有1个零点，g(x)>=0，所以：f'(x)>=0，f(x)是增函数。

综上所述：
a=0或者a<=-1时，f(x)是单调减函数；
a>1时，f(x)是单调增函数；
-1<a<0时，f(x)在x<[1+√(1-a²)]/a或者x>[1-√(1-a²)]/a时是减函数，在[1+√(1-a²)]/a<x<[1-√(1-a²)]/a时是增函数；
0<a<1时，f(x)在x<[1-√(1-a²)]/a或者x>[1+√(1-a²)]/a时是增函数，在[1-√(1-a²)]/a<x<[1+√(1-a²)]/a时是减函数。

Answer 2