Question

判断级数(∞∑n-1)(-1)^(n-1)ln(n^2+1)/(n^2)是否收敛?

判断级数(∞∑n-1)(-1)^(n-1)ln(n^2+1)/(n^2)是否收敛?如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？
可能是我表达的不够清楚，是ln((n^2+1)/(n^2))这种形式，就是说n^2是ln()里的分母。能不能再看看？。。我把悬赏提高点

Answer 1

当n趋向无穷大时，an=（n-1)ln(n^2+1)/(n^2)趋向于0.且奇偶项符号相反，所以收敛。
此级数只算偶项或只算奇数项，都大于调和级数1/n，所以都是发散的。
综此：级数是条件收敛。

看到你修改了内容变成了：级数(n-1)*(-1)^(n-1)*ln[(n^2+1)/n^2]
于是通项变取绝对值后变为：ln{[(n^2+1)/n^2)]^(n-1)} 可知不趋向于0。所以级数发散

Answer 2

收敛
而且是绝对收敛

看这个级数(∞∑n-1)ln(n^2+1)/(n^2) 加绝对值后的级数

un=ln(n^2+1)/(n^2)
设vn=1/n^(3/2)
lim un/vn=limln(n^2+1)/n^(1/2)=0
而Σvn收敛，p级数，p=3/2>1
所以
弱级数(∞∑n-1)ln(n^2+1)/(n^2)
所以
原级数绝对收敛。

追问

非常感谢大神的回答，但是不好意思，可能是我表达的不够清楚，是ln((n^2+1)/(n^2))这种形式，就是说n^2是ln()里的分母。能不能再看看？。。我把悬赏提高点

追答

你竟然选了个错的，无语。