Question

已知14（a的平方+b的平方+c的平方）=（a+2b+3c）的平方，求证a：b：c=1：2：3

Answer 1

14（a^2+b^2+c^2）=(a+2b+3c)^2
14a^2+14b^2+14c^2）=a^2+4b^2+9c^2+4ab+12bc+6ac
13a^2+10b^2+5c^2-4ab-12bc-6ac=0
(2a-b)^2+(3b-2c)^2+(3a-c)^2=0
2a=b,a/b=1/2
3b=2c,b/c=2/3
3a=c,a/c=1/3
故a:b:c=1:2:3

Answer 2

14(a^2+b^2+c^2)=(a+2b+3c)^2
14(a^2+b^2+c^2)=a^2+4b^2+9c^2+4ab+12bc+6ac
13a^2+10b^2+5c^2-4ab-12bc-6ac=0
(2a-b)^2+(3a-c)^2+(3b-2c)^2=0
2a-b=0,3a-c=0,3b-2c=0
a:b:c=1:2:3

Answer 3

证明: 14*(a^2+b^2+c^2)=(a+2b+3c)^2 推出
14a^2+14b^2+14c^2=a^2+4b^2+9c^2+4ab+6ac+12bc 推出
13a^2+10b^2+5c^2-4ab-6ac-12bc=0 推出
(4a^2-4ab+b^2)+(9a^2-6ac+c^2)+(9b^2-12bc+4c^2)=0 推出
(2a-b)^2+(3a-c)^2+(3b-2c)^2=0 推出
2a-b=0 且3a-c=0 且 3b-2c=0
则 2a=b 且 3a=c 且 3b=2c
得出 a:b:c=1:2:3

Answer 4

拆开来得13a^2+10b^2+5^c2=4ab+6ac+12bc
配方得(3a-c)^2+(2a-b)^2+(3b-2c)^2=0
得3a=c,2a=b,3b=2c
所以a：b：c=1：2：3