Question

多元函数可微一定连续吗

Answer 1

多元函数可微一定连续。可微是在某点存在x+△x，y+△y增量趋于0。lim△f(x,y)=fx△x+fy△y+o(√x²+y²)，连续性是指limf(x+△x,y+△y)-f(x,y)=lim△f(x,y)=0。已知可微有lim△f(x,y)=fx△x+fy△y+o(√x²+y²)，所以在△x和△y趋近0时，fx△x为0，fy△y为0，而o(√x²+y²)为△x和△y高阶无穷小，必为0。

设D为一个非空的n元有序数组的集合，f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组(x1,x2,…,xn)∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。记为y=f(x1,x2,…,xn)，(x1,x2,…,xn)∈D。变量x1,x2,…,xn称为自变量；y称为因变量。

设D是n维空间的一个点集，f为某一确定的对应法则。如果对于每个点P(x1,x2,…,xn)∈D，变量z按照对应法则f总有唯一确定的值和它对应，则称z是变量x1,x2,…,xn的n元函数。记为z=f(x1,x2,…,xn)，(x1,x2,…,xn)∈D，或z=f(P)，P∈D。若函数f的定义域D是实数集R的一个子集，即只依赖于一个自变量，就说f是一元函数。若函数f的定义域D是n个R的笛卡尔积R×R×…×R=R^n的子集,即依赖于n个独立自变量，就说f是n元函数。当n≥2时，n元函数泛称为多元函数。二元函数的定义域通常是由平面上的一条或几条光滑曲线所围成的平面区域，围成区域的曲线称为区域的边界，包括边界在内的区域称为闭区域，否则称为开区域。