Question

在三角形ABC中,b²-a²=2c²,求tanB/tanA？

Answer 1

根据三角形中的余弦定理，可以得到以下关系式：
a² = b² + c² - 2bc cos(A) （1）
b² = a² + c² - 2ac cos(B) （2）
将 (1) 代入 b² - a² = 2c² 中，得到：
b² - (b² + c² - 2bc cos(A)) = 2c²
化简可得：
cos(A) = (b² - c²) / 2bc
同理，将 (2) 代入 b² - a² = 2c² 中，得到：
(a² + c² - 2ac cos(B)) - a² = 2c²
化简可得：
cos(B) = (a² - b²) / 2ac
因此，tanB/tanA = sinB cosA / sinA cosB = (sinB/cosB) / (sinA/cosA) = tanB/tanA = (b sin(B) / cos(B)) / (a sin(A) / cos(A))。
将 sin(B) 和 cos(B) 带入上式，化简可得：
tanB/tanA = (b cos(A)) / (a cos(B))
= (b cos(A)) / (a (a² + c² - b²) / 2ac)
= 2b cos²(A) / (a² + c² - b²)
将 cos(A) 的式子代入上式，得到：
tanB/tanA = 2b (b² - c²) / (a²c² + c⁴ - a²b² - b⁴)
因此，tanB/tanA 的值为 2b (b² - c²) / (a²c² + c⁴ - a²b² - b⁴)。

Answer 2

根据所给条件，可以得到：
b² = a² + c² + c²
而根据余弦定理，有：
b² = a² + c² - 2ac * cosB
联立这两个等式，可以得到：
c² = -2ac * cosB
2cosB = -c/a
= -sinC/sinA 注：正弦定理 a/sinA = b/sinB = c/sinC
= -sin(A+B)/sinA
2sinAcosB = -sinAcosB - cosAsinB
3sinAcosB = -cosAsinB
3sinA/cosA = -sinB/cosB
即：
3tanA = -tanB
所以：
tanB/tanA = -3