Question

边长为4的正方形ABCD中,点o是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点。

边长为4的正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F，作PE⊥PB交直线CD于点E，设PA=X S△PCE=Y

当点P在线段AO上时，求Y关于X的函数关系式及自变量X的取值范围
在点P的运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？如果能够，请直接写出PA的长，如果不能，请简单说明理由。

Answer 1

 

提示：

⑴过P作BC的垂线，垂足为G。

∵P是AC上的点，

∴PG＝PF，

又 ∠BPG+∠EPG=∠RPG+∠EPF=90°，

  将⊿PBG绕P逆时针旋转90°;与⊿PEF重合，

 即△BPG≌△PEF；

, ∴BG=EF。

⑵ AP=x，则EF＝BG＝√2/2·x，

CE＝4 －√2·x

PF＝4－√2/2·x

 故y＝1/2(4－√2x)(4－√2/2·x)

＝1/2x²;－3√2x＋8，﹙0≤x≤2√2﹚。

⑶ ①若P点在AO上时，

显然，当x＝0或x＝2√2时，△PEC是等腰三角形。

②若P在OC上时，则E点在DC的延长线上，

当PC＝CE 即可。

而PC＝4√2－x，CE＝√2x－4，

∴4√2－x＝√2x－4，

解之，得x＝4；

综上， 当x=0，或x＝2√2，或x＝4时，⊿PEC是等腰三角形。

追问

（2）为什么AP=x，则EF＝BG＝√2/2·x

追答

提示：
延长FP交AB于Q，PQ＝√2/2·x。

追问

（3）为什么 CE＝√2x－4 而且X应该不能等于2√2吧，那样的话P不就在中心了吗∠BPC就等于90°了E、C就重合了，不是三角形了呀……

追答

你说得对。
当x＝2√2时，⊿PFC是等腰三角形。

追问

（3）为什么 CE＝√2x－4

追答

过P作PH⊥BC于H，
则BH＝√2/2·x，HC＝4－√2/2·x，
EF＝√2/2·x，FC＝4－√2/2·x，
CE＝EF－FC＝√2x－4。

Answer 2

（1）边长为4的正方形ABCD中，AC=4√2，
延长FP交AB于Q,P是对角线AC上一动点,PF⊥CD,
∴PQ=AQ=AP/√2=x/√2，
∴PF=BQ=4-x/√2,
PE⊥PB，
∴∠EPF=∠QBP,
∴△EPF≌△QBP(ASA),
∴EF=QP=x/√2，
CE=CF-EF=PF-EF=4-x√2，
∴y=(1/2)PF*CE=(1/2)(4-x/√2）（4-x√2）=（1/2）（16-6x√2+x^),0<=x<=2√2.
（2）∠PEC是钝角，所以PC>PE>PF=CF>CE,于是，△PEC不能为等腰三角形.