Question

线性代数求解！二次型f(x1,x2,x3)=2(x1^2+x2^2+x3^2+x1x2+x1x3+x2x3)

设f(x1,x2,x3)=2(x1^2+x2^2+x3^2+x1x2+x1x3+x2x3)
写出二次型f(x1,x2,x3)所对应的对称矩阵A
求正交变换x=Ty 将二次型f(x1,x2,x3)化成标准型 并判断他的正定性。

求过程！

Answer 1

解: A=
2 1 1
1 2 1
1 1 2

|A-λE| =
2-λ 1 1
1 2-λ 1
1 1 2-λ

c1+c2+c3
4-λ 1 1
4-λ 2-λ 1
4-λ 1 2-λ

r2-r1,r3-r1
4-λ 1 1
0 1-λ 0
0 0 1-λ

= (4-λ)(1-λ)^2.

所以A的特征值为 4,1,1

A-4E=
-2 1 1
1 -2 1
1 1 -2
-->
r3+r1+r2, r1+2r2
0 -3 3
1 -2 1
0 0 0
-->
0 1 -1
1 -2 1
0 0 0
-->
0 1 -1
1 0 -1
0 0 0
得(A-4E)x=0的基础解系为 α1=(1,1,1)^T.

同样, A-E =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
-->
1 1 1
0 0 0
0 0 0
得(A-E)x=0的基础解系为 α2=(1,-1,0)^T,α3=(1,1,-2)^T.

α1,α2,α3已两两正交,单位化后构成矩阵T=
1/√3 1/√2 1/√6
1/√3 -1/√2 1/√6
1/√3 0 -2/√6
则X=TY是正交变换, 且二次型化为 f=4y1^2+y2^2+y3^2

因为二次型的正惯性指数为3(等于n), 所以是正定的.