Question

已知函数f(x)=ax^3-3x+1对x∈(0,1]总有f(x)≥0成立,

已知函数f(x)=ax^3-3x+1对x∈(0,1]总有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是？？？（求解）

Answer 1

转为求f(x)在区间(0,1]的最小值问题。最小值≥0即可。
1.当a<0时，导数f'(x) = 3ax^2-3 < 0，最小值为f(1) = a-3+1 = a-2 ≥ 0，即a ≥ 2，与假设矛盾。
2.当a>0时，另导数等于0，解得x = ±√1/a (1/a开根号) 负的不考虑。f'(x)在(0,√1/a) < 0，在(√1/a,+∞)>0, ∴f(√1/a)是极小值。若√1/a>1, 即a<1时，f(1)为区间的最小值：a-2 ≥ 0即a≥2，矛盾。 若√1/a ≤ 1（√1/a肯定>0），即a≥1时，f(√1/a)为区间最小值：√1/a-3√1/a+1 ≥ 0即a≥4（取a≥1和a≥4的交集还是a≥4）
3.当a=0时，f(x)=-3x+1单调递减，最小值为f(1) = -3+1=-2不满足要求，所以a≠0.
综上a∈[4,+∞)

追问

当a>0时，另导数等于0，解得x = ±√1/a (1/a开根号) 负的不考虑。 这个地方没有看懂..为甚么 负根号下1/a 不考虑？？

追答

区间是(0,1]

负的当然不用考虑了

追问

若√1/a>1, 即a1？？

追答

分类讨论
区间是(0,1]

如果不分类讨论，若√1/a>1，那么f(根号a/a)是取不到的，当然不是最小值

追问

图像大概是什么样的啊？？ 能画一下吗

追答

这个……………………

其实不一定要画图像的

Answer 2

已知函数f(x)=ax³-3x+1对x∈(0,1]总有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是？？？
解：因为对任何a，都有f(0)=1>0，令f(1)=a-3+1=a-2≥0，得a≥2.
再令f'(x)=3ax²-3=0，得x²=1/a(a≥2)，故x=√(1/a)；当x<√(1/a)时f'(x)<0；当x>√(1/a)时f'(x)>0；
故x=√(1/a)是f(x)在区间(0，1]内的极小点，极小值=f[√(1/a)]=a[1/(a^(3/2))]-3/√a+1=1/(√a)-3/(√a)+1
=-2/(√a)+1≥0，即有2/√a≦1，√a≥2，于是得a≥4，即a∈[4，+∞)，这就是a的取值范围。