Question

这个题目怎么写呀？

Answer 1

主要使用分部积分法。另外这题里的p要大于0才有意义。如果p小于0的话，在下图第四部将会产生发散的结果（e＾(-px)cosxy在x趋于无穷时结果不确定）。p大于0的情况如下图所示

Answer 2

这是一道二重积分的题目，需要分别对 $x$ 和 $y$ 进行积分。
首先对 $x$ 进行积分，将 $y$ 视作常数：
$\int e^{-px} \cos(xy) , \mathrm{d}x = \frac{1}{y} e^{-px} \sin(xy) + C$
其中 $C$ 为积分常数。
然后对 $y$ 进行积分，将 $x$ 视作常数：
$\int_0^{24^\circ} \frac{1}{y} e^{-px} \sin(xy) , \mathrm{d}y$
令 $u = xy, \mathrm{d}u = x , \mathrm{d}y$，则有：
$\int_0^{24^\circ} \frac{1}{y} e^{-px} \sin(xy) , \mathrm{d}y = \int_0^{24px} \frac{1}{u} e^{-\frac{u}{x}} \sin(u) \frac{\mathrm{d}u}{x}$
这是一个常见的积分形式，可以使用分部积分法来求解。令 $f(u) = \sin(u), g'(u) = \frac{1}{u} e^{-\frac{u}{x}}$，则有 $f'(u) = \cos(u), g(u) = -x e^{-\frac{u}{x}}$。代入分部积分公式：
$\int \frac{1}{u} e^{-\frac{u}{x}} \sin(u) , \mathrm{d}u = -\frac{1}{u} x e^{-\frac{u}{x}} \sin(u) - \int \frac{1}{u} x e^{-\frac{u}{x}} \cos(u) , \mathrm{d}u$
对第二个积分再次使用分部积分法，令 $f(u) = \cos(u), g'(u) = \frac{1}{u} x e^{-\frac{u}{x}}$，则有 $f'(u) = -\sin(u), g(u) = -x^2 e^{-\frac{u}{x}}$。代入公式：
$\int \frac{1}{u} x e^{-\frac{u}{x}} \cos(u) , \mathrm{d}u = -\frac{1}{u} x^2 e^{-\frac{u}{x}} \cos(u) + \int \frac{1}{u} x^2 e^{-\frac{u}{x}} \sin(u) , \mathrm{d}u$
代入上式得：
$\int_0^{24px} \frac{1}{u} e^{-\frac{u}{x}} \sin(u) , \mathrm{d}u = -\frac{1}{xy} e^{-24} \sin(24xy) + \frac{1}{x^2} \int_0^{24px} e^{-\frac{u}{x}} \cos(u) , \mathrm{d}u$
最后对 $\cos(u)$ 的积分也可以使用分部积分法，方法和上面类似，最终得到：
$\int_0^{24^\circ