Question

期末热身二，9，若不等式√（4x-x2）>ax的解集为｛x|0<x≤4｝，则实数a的取值范围是

A a≥0 B a<4 C a<0 D a≤0
我的问题是网友解中“所以√（4x-x^2) >=0 , ax<0”为什么？ 有没有更简单的方法？另外，怎么想到这么做的？

网友解：
解：对于函数 y=√（4x-x^2) —ax
对于 y>0,可分情况验证：
（1）a<0,0<x<=4，所以√（4x-x^2) >=0 , ax<0
所以y=√（4x-x^2) —ax >0 (a<0、0<x<=4)
（2）a=0，0<x<=4,所以√（4x-x^2) >=0 , ax=0，
y=√（4x-x^2) —ax >=0（与题意不符）
（3）a>o，0<x<=4，解不等式√（4x-x^2)>ax ，得：0<x<4/(a^2+1) (与题意不符)
综上：实数a的取值范围是a<0

Answer 1

过程真的是烦了，
原式可化为：
a<√(4x﹣x²)/x=√[(4x-x²)/x²]=√[(4/x-1)]
a<√[(4/x-1)]在（0，4】上是恒成立，恒小就是左边的a比右边的最小值还要小
以下先求右边的最小值；
0<x≤4
4/x≥1
4/x-1≥0
所以a<0

追问

你好，
请问你是怎么想到这么做的？我遇到这种题首先看到有根号，所以我就想同时平方，然后解一元二次不等式，但我有问题，如果真的是解一元二次不等式，它的解集怎么可能是｛x|0<x≤4｝这种样子？但我又想同时平方后，再解不等式，解集应该要变，然后我试着把x=4带进去求不等式，发现解出a<0，然后我就选了C，我这么做是不是不对？我不知道怎么做才对，你怎么想到这么做的而不是去掉根号呢？

追答

两边平方会导致变量的范围变大，
也包含了：√（4x-x2）>-ax的命题
这是一个隐性的恒成立的命题，因此采取隔离变量的方法，
我这么做是不是不对？
ans:
y=√（4x-x²）是一个上半圆，所谓平方后就变成了：
y²=4x-x²
即：
（x-2)²+y²=2²这是一个整圆的方程，如果再进行移项，开方后就变成了：
y=√(4x-x²)，但开方时选择了加号，因此是 上半圆，再画一个图就清楚了，直线y=ax,的倾斜角
只能是钝角才能符合题意；
上面的意思也包含了可以用几何的方法去做.

追问

你好，那在知道ax的符号的情况下，可不可以平方？

追答

你说的是a的符号吧，
对于本题是上半圆与直线的问题，如果a0,则
要求出交点的横坐标结合图象回答问题；