Question

期末热身（2）20，已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0，是否存在斜率为1的直线L，使得以L被圆C截得的弦AB为

直径的圆过原点？若存在，求出L的方程，若不存在，请说明理由。
我拿到这种题，好不容易读懂是什么意思，更不要说怎么想，我不是要答案，请告诉我此题怎么去思考，怎么想，怎么做，谢谢

Answer 1

此题关键是“弦AB为直径的圆过原点”这句话你要转化为数学语言。
直径所对的圆周角是直角，那么向量OA⊥向量OB
设A(x1,y1),B(x2,y2)
那么x1x2+y1y2=0
斜率是1的直线方程设为：y=x+b
那么x1x2+(x1+b)(x2+b)=0
2x1x2+b(x1+x2)+b²=0
直线和原方程联立后确定判别式要大于0(因为有两个交点A和B)求得b的范围。
再用韦达定理得到x1+x2，x1x2，都用b表示，再带入上面就算出b来了，算出来的b如果在上述范围则存在，不在那范围就不存在。

追问

你好，
我知道把题目文字语言转化为数学语言，这是做题最基本的，我只是想知道遇到这种题怎么想，怎么思考，你是怎么想到这么做的，你看到这题目时，你首先思考了什么？为什么这样想？一步一步怎么思考的，我想知道我遇到这种题怎么想？

追答

首先你要知道解析几何里面最基本的东西，我觉得韦达定理在解析几何里面经常要用到。
不会做的时候看条件，看到一个条件你能想到什么？比如，给定圆方程后你肯定知道他的半径和圆心坐标；斜率为1的直线最常用的就是设直线为y=x+b；再后面出现弦AB，那么要联想到直线和弦方程联立后的二次方程判别式大于0，弦长怎么求等等；再后面弦AB为直径的圆过原点，就这一点除了我上面说的圆周角是直角外还能想到弦AB中点到原点的距离=弦长的一半等等。当然想到的东西不一定都用得上。所有条件看完了，再看题目要求直线方程，也就是求y=x+b的b是多少，求b肯定要一个未知数为b方程。所有的条件好像都只有利用“弦AB为直径的圆过原点”来建立一个方程。要建立这个方程就要用上之前利用条件所联想到的一些东西...问题就解决局了。当然前提是我之前说的，你要知道解析几何一些基础的东西。另外要善于总结，当你题目接触多了很多解题套路你就越累越熟悉，像这道题算是很简单了。另外：韦达定理在圆锥曲线的大题里面用的很多，要注意。还有一点要提醒你，解析几何里面出现直线的话一定要注意斜率是否存在的问题，别出现直线就用y=kx+b而忽略了斜率不存在的情况，或许有些时候不考虑斜率不存在的情况结果也是正确的，但解题思路就不严谨了，按理说要被扣分，但有时候阅卷老师没看到也不会扣，这个问题你自己去斟酌，也可以咨询你们老师。
ps：我不是教育工作者，我说的这些都只是以前我们老师教我的，适不适合你我不知道。自己斟酌吧！