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(文章由ChatGPT生成)根据矩阵论中的克拉默定理,对于线性方程组Ax=b,当系数矩阵A的秩等于增广矩阵(A|b)的秩时,方程组有解。因此,我们需要比较矩阵A的秩和(A|b)的秩。
由于m > n,所以A的秩最多为n,而(A|b)的秩最多为m。如果r(A) < n,则矩阵A的列空间的维数小于n,因此无法表示n维向量空间中的所有向量。因此,对于r(A) < n,方程组Ax=b没有唯一解。当r(A) = n时,方程组Ax=b可能有无穷多个解或者唯一解,具体取决于b在A的列空间中的位置。
而当r(A) > n时,A的行向量的线性相关性会导致(A|b)的秩小于m,从而使得方程组Ax=b无解。
综上所述,对于m > n的矩阵A,如果r(A) < n,则方程组Ax=b没有唯一解;如果r(A) = n,则方程组Ax=b可能有无穷多个解或者唯一解;如果r(A) > n,则方程组Ax=b无解。
由于m > n,所以A的秩最多为n,而(A|b)的秩最多为m。如果r(A) < n,则矩阵A的列空间的维数小于n,因此无法表示n维向量空间中的所有向量。因此,对于r(A) < n,方程组Ax=b没有唯一解。当r(A) = n时,方程组Ax=b可能有无穷多个解或者唯一解,具体取决于b在A的列空间中的位置。
而当r(A) > n时,A的行向量的线性相关性会导致(A|b)的秩小于m,从而使得方程组Ax=b无解。
综上所述,对于m > n的矩阵A,如果r(A) < n,则方程组Ax=b没有唯一解;如果r(A) = n,则方程组Ax=b可能有无穷多个解或者唯一解;如果r(A) > n,则方程组Ax=b无解。
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