Question

请大家帮我看一道定积分的高数题，我不知道问什么，积分上下线调换了，怎么没有变号？？

设：f(x)=sinx, x≤π／2
=x－π／2, x﹥π／2 求，Ⅰ=∫x，0(x为上限，0为下限) t·f (x-t)dt 的值是多少？？
解：，Ⅰ=∫x，0(x为上限，0为下限) t·f (x-t)dt
令 x-t=u, 则 t=x-u , dt= -du 代入上式中，
Ⅰ=∫x，0(x为上限，0为下限) t·f (x-t)dt
=Ⅰ=∫0，x(0为上限，x为下限) (x-u)·f (u)(-du)
=Ⅰ=x∫x，0(x为上限，0为下限) f(u)du -∫x，0(x为上限，0为下限)uf(u)du
问题：积分上下限调换，不是要变号的吗？？？为什么此题的第二部变了上下限后，积分没有增加负号呢？？？

Answer 1

Ⅰ=∫x，0(x为上限，0为下限) t·f (x-t)dt
=∫0，x(0为上限，x为下限) (x-u)·f (u)(-du) 上、下限调换，是因为换元造成的，不能添加负号。
=x∫x，0(x为上限，0为下限) f(u)du -∫x，0(x为上限，0为下限)uf(u)du

-du中的负号导致积分上、下限调换。

追问

是因为换元产生了负号，所以，积分上下线就要对换吗？？？那第三部那个du前边的负号消失，是怎么回事呢？？

追答

因为换元产生了负号，所以，积分上下线就要对换吗？？？

错，这是巧合。

那第三部那个du前边的负号消失，是怎么回事呢？？

上面已经说到，这是du前的负号产生了交换积分限的作用，你看第二步到第三步不是积分限变换吗

追问

第三部变号了，我知道，但是第二部我还是没理解。是因为换元的时候产生了负号，所以，积分上下限就要互换吗？？？那以后遇到这种情况，是不是也要还限呢？？

追答

第二步因为换元产生了负号，不是在积分式子里面吗，就是说负号保留了，当然不用换限，这道题的第二步积分限换了，是因为换元本身造成的，因为积分限反映的是变量的积分范围，如果换了新的变量，那么积分限就应该换成对应的积分范围。

这里的积分限多表面上看是和第一步的积分限调换了，但其实这是偶然现象。

综上，换元必换限。但不一定是刚好交换积分上、下限。

追问

啊！我明白了，第二部的上下限，其实就是反应的u 的积分范围，并不是换限是吧？t=下限0的时候，u=x,t=上限x 的时候，u=0.对吗？

追答

你终于弄明白了，真替你高兴。

Answer 2

在第三部又变回来了

追问

不是啊，我试了，始终是差一个负号啊，那个du前边不是好友一个负号吗？第三部变号的时候就直接把这个负号抵消了，但是第二部变号得时候，怎么少一个负号呢？？