Question

sinA+sinC=2sin[(A+C)/2]cos[(A—C)/2]

Answer 1

A=[(A＋C)/2]＋[(A－C)/2]、C=[(A＋C)/2]－[(A－C)/2]
则：
sinA=sin[(A＋C)/2]cos[(A－C)/2]＋cos[(A＋C)/2]sin[(A－C)/2]
sinC=sin[(A＋C)/2]cos[(A－C)/2]－cos[(A＋C)/2]sin[(A－C)/2]
两个相加，得：
sinA＋sinC=2sin[(A＋C)/2]cos[(A－C)/2]

Answer 2

和差化积
可以把A＝(A+C)/2+(A-C)/2
C＝(A+C)/2-(A-C)/2
代入左边，展开后，cos[(A+C)/2]sin[(A-C)/2]两项异号这项消去
sin[(A+C)/2]cos[(A-C)/2]两项同号变成两倍
这是我在静心思考后得出的结论，
如果能帮助到您，希望您不吝赐我一采纳~（满意回答）
如果不能请追问，我会尽全力帮您解决的~
答题不易，如果您有所不满愿意，请谅解~

Answer 3

A=(A+C)/2+(A-C)/2
C=(A+C)/2-(A-C)/2
左边=sin[(A+C)/2]cos[(A-C)/2]+cos[(A+C)/2]sin[(A-C)/2]+sin[(A+C)/2]cos[(A-C)/2]-cos[(A+C)/2]sin[(A-C)/2]
=2sin[(A+C)/2]cos[(A-C)/2]
=右边
命题得证