Question

这道曲线积分的有关对称性问题，能有数学高手给我一个解释吗？

曲线L: x^2+y^2=a。 求∫L （x^2）dl.
老师说∫L （x^2）dl.=∫L （y^2）dl. 为什么啊？？？？？？
第一个问题 求详细解释，
第二个问题 如果曲线l是椭圆，∫L （x^2）dl.还等于∫L （y^2）吗？？？？

Answer 1

第一个问题：曲线是圆，具有轮换性（x，y对调，结果曲线不变），做的是曲线积分，即在线段上对被积函数积分，因为被积函数具有轮换性，而曲线就是一条，所以相等。
第二个问题：椭圆x，y不具有轮换性，曲线是册渗岩同一条曲线，但被积函数不具有轮换性，素以不相等
也可以通过计算证明，dl=根号下（1+y对x导数的平方）倍的dx。再把被积函数中y用x换掉，积分区间分两段，（-a，a），（a，-a），注意dl与dx的正负关系喊歼，其实两段是相加的关系。
用三角函数州御代换更好算一些，x=a*cosθ，y=a*sinθ，dl=a*dθ，带进去算，很容易……，∫L （x^2）dl. 结果是a^3*π