Question

f(2)=1/2,f'(2)=0,∫0 2 f(x)dx=1,求∫0 1 x^2f"(2x)dx

一堆数学分析问题 真心求详细解答 感激不尽。

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Answer 1

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5.由于E^(ix)=Cos[x]+iSin[x]所以结果为积分E^((2+i)x)dx的实部
Re[∫E^((2+i)x)dx] = Re[E^((2+i)x) / (2+i)] = (2Cos[x]+Sin[x])E^(2x)/5，代入值得(E^Pi-2)/5
10.∫Sin[x]^2/x^2dx = -∫Sin[x]^2 d(1/x) = ∫ 1/x d(Sin[x]^2) - Sin[x]^2/x = ∫ Sin[2x] / x dx - Sin[x]^2/x
由于Sin[x]/x在[0,无穷]上积分值为Pi/2，所以结果为Pi/2

Answer 2

f(2)=1/2,f'(2)=0,∫0 2 f(x)dx=1,求∫0 1 x^2f"(2x)dx
解：原式=1/2∫[0,1]x^2df'(2x)
=1/2{[x^2f'(2x)](0到1)-∫[0,1]f'(2x)d(x^2)}
=1/2[f'(2)]-1/2∫[0,1]f'(2x)*xd(2x)
=-1/2∫[0,1]xdf(2x)
=-1/2{[xf(2x)](0到1)-∫[0,1]f(2x)dx}
=-1/2f(2)+1/4∫[0,1]f(2x)d(2x)
=-1/4+1/4∫[0,1]f(2x)d(2x)
又因为∫[0 ,2 ]f(x)dx=1,令x=2t,,当x=0时，t=0,当x=2时，t=1
所以∫[0 ,2 ]f(x)dx=∫[0 ,1 ]f(2t)d(2t)=1
所以 原式=-1/4+1/4*1=0