Question

f(x)=e^x-(a+2)x（x＞0）有两个零点求证:2<x1+x2<2ln(a+2)？

Answer 1

要证明 $2 < x_1 + x_2 < 2\ln(a+2)$，其中 $x_1$ 和 $x_2$ 是函数 $f(x)=e^x-(a+2)x$ 在 $x>0$ 区间内的两个零点。
首先，由于 $e^x$ 函数在 $x>0$ 区间内单调递增，因此 $e^x > (a+2)x$，或者 $e^x - (a+2)x > 0$。因此，$f(x)>0$ 时，$x$ 必定大于该函数的零点。
因此，$x_1+x_2$ 必定大于 $0$。
其次，对函数 $f(x)$ 求导数，得到：
f′(x)=ex−(a+2)
令 $f'(x)=0$，解得 $x=\ln(a+2)$，即 $f(x)$ 在 $x=\ln(a+2)$ 处取得极值。当 $x>\ln(a+2)$ 时，$f'(x)>0$；当 $x<\ln(a+2)$ 时，$f'(x)<0$。
因此，当 $0<x_1<x_2<\ln(a+2)$ 时，$f(x)$ 的值分别从负数变为正数，从正数变为负数，因此 $x_1+x_2$ 必定大于 $\ln(a+2)$。
又因为 $f(0)=-a<0$，$f(\ln(a+2))=(a+2)\ln(a+2)-(a+2)\ln(a+2)=0$，因此 $f(x)$ 在 $(0,\ln(a+2))$ 区间内至少存在一个零点。
综上，$x_1+x_2$ 大于 $0$，小于 $\ln(a+2)$，因此：
2<2x1+2x2<2ln(a+2)
即：
2<x1+x2<2ln(a+2)
证毕。