Question

高中数学 要过程

Answer 1

连接MO。容易判断：O是矩形ABCD对角线BD的中点。因为M为PD中点，所以MO∥PB。由MO包含于平面MAC中，所以PB∥平面MAC。
联结AM。因为AM在底面ABCD上的射影AD⊥CD，所以AM⊥CD。因为PA垂直于平面ABCD，所以角PAD是直角。又因为在直角三角形PAD中，PA＝AD，M为斜边PD中点，则AM⊥PD。所以AM垂直于线段PD和线段CD形成的平面PCD。
设AD中点为E。因为M为PD中点，所以ME∥PA且ME＝0.5×PA＝2；因为PA垂直于平面ABCD，所以ME也垂直于平面ABCD，即ME是四棱锥M-ABCD在底面ABCD上的高。矩形ABCD的面积＝AB.AD=4×2＝8。所以四棱锥M-ABCD的体积＝1/3×矩形ABCD的面积×ME=1/3×8×2=16/3。

追答

：（1）∵PA=AD=4，点M为PD中点，∴AM⊥PD
因为PA⊥平面ABCD，则PA⊥AB，又AB⊥AD，
所以AB⊥平面PAD，则AB⊥PD，
因此有PD⊥平面ABM，所以平面ABM⊥平面PCD
（2）设平面ABM与PC交于点N，
因为AB∥CD，所以AB∥平面PCD，则AB∥MN∥CD，
由（1）知，PD⊥平面ABM，则MN是PN在平面ABM上的射影，
所以∠PNM就是PC与平面ABM所成的角，且∠PNM=∠PCD，tan∠PNM=tan∠PCD=PD/DC=2根号2
∴sin∠PNM=2根号2/3