Question

分段函数求导的问题

分段函数求导的问题如题

Answer 1

图像如图

追答

不连续不可导

追问

书本上说左导数等于右导数那么导数必存在。。。。到底是哪里出问题了

追答

大前提是连续

追问

额，不是说可导必连续吗，左右导数相等就可导，可导就必然连续。。。

追答

连续和可导都是函数在某一点及附近一个很小的临域内的性质,前者是说函数在这一点的变化不是太大,也就是自变量从左右趋近于这一点时函数值趋近于这一点的函数值;后者是说在这一点函数光滑,也就是存在切线,也就是从左右逼近的切线在这一点重合.由此可见可导一定连续,而连续不一定可导.

这问题问得好，可以看出你确实是在认真思考了。 1，极限值一定等于该函数等于X0时的数值，例如一个分段函数f(x)=x x≠1时 =2 x=1时 这样一个函数在x=1点的左右极限都存在且都等于1，但是在在x=1点的函数值f(1)=2却不等于极限值，因此f(x)在x=1点不连续，x=1这个点即为所谓的可去间断点，可通过补充定义f(1)=1而使f(x)在x=1点连续，因此叫可去间断点。 2，可导是连续的真子集这种说法倒是头一次听说，不过想想也没错。连续只能保证f(x)在某点的左右极限相等并等于该点函数值，但不能保证导函数f'(x)在该点的左右极限相等，而后者才是可导的要求，例如f(x)=x的绝对值在x=0处连续但不可导。

追问

哈哈谢谢。。。但是我那个问题还是没解决

追答

你是高中还是大学

追问

大学。。。看来您是高中老师？我好像大概想出来是什么问题了

追答

想明白就好

还是要紧抓书本上的定义

追问

对，因为按照定义来算的话左导数是不存在的。。。没注意到这个，谢谢老师啦

追答

右边是开区间

我也是学生

追问

没事，在这段对话的时间里你也是我的老师了😄

追答

其实我才高中毕业

不过在看高数的书

高中老师讲的深一点