Question

已知等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE，AC=BC,CD=CE,M、N分别为AE、BD的

已知等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE，AC=BC,CD=CE,M、N分别为AE、BD的中点，连CM、CN.
1.判断CM与CN的位置关系和数量关系
2.若三角形CDE绕C旋转任意角度，其他条件不变，1是否成立

Answer 1

1）CN与CM的数量关系是：相等。
位置关系是：互相垂直。
证明：因为 角ACB=角DCE=直角，
所以 角ACB--角ECB=角DCE--角ECB,
即： 角ACE=角BCD,
因为 AC=BC,CD=CE,
所以 三角形ACE全等于三角形BCD,
所以 AE=BD, 角EAC=角DBC
因为 M,N分别是AE,BD的中点，
所以 AM=BN,
又因为 AC=BC,
所以 三角形AMC全等于三角形BNC,
所以 CM=CN. 角ACM=角BCN
又 因为 角ACB是直角，
所以 角MCN也是直角，
所以 CM与CN互相垂直。
（2）若三角形CDE绕C转任意角度，则（1)的结论仍成立。
证明：第一问已写了。

Answer 2

解：（1）CM=CN，MC⊥CN，
理由是：∵∠ACE=∠BCD=90°，
∴在△ACE和△BCD中

AC＝BC∠ACE＝∠BCDCE＝CD

∴△ACE≌△BCD，
∴AE=BD，∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC，
∵∠ACE=∠BCD=90°，M为AE中点，N为BD中点，
∴CM=AM=ME=
12
AE，CN=DN=BN=
12
BD，
∴CM=CN，∠MAC=∠MCA，∠NDC=∠NCD，
∵∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC，
∴∠MCA+∠NCD=90°，
∴∠MCN=180°-90°=90°，
即MC⊥CN．

（2）成立，
证明：∵∠ACE=∠BCD=90°，∠ECB=∠ECB，
∴∠ECA=∠DCB，
∴在△ACE和△BCD中

AC＝BC∠ACE＝∠BCDCE＝CD

∴△ACE≌△BCD，
∴AE=BD，∠AEC=∠BDC，
∵M、N分别为AE、BD中点，
∴EM=DN，
在△MEC和△NDC中

ME＝DN∠MEC＝∠NDCEC＝DC

∴△MEC≌△NDC，
∴CM=CN，∠ECM=∠NCD，
∴∠MCN=∠ECM+∠ECN=∠NCD+∠ECN=∠ECD=90°，
∴CM⊥CN．

I will be glad to answer your question.
有疑问可追问。

Answer 3

1)、三角形ACE、BCD中。ABC、ECD是等腰直角三角形，AC=BC；EC=DC；角ACB=90=ECD，等量加等量：角ACB+BCE=ECD+BCE，即角ACE=BCD，三角形ACE全等于BCD(SAS)，对应边相等：AE=BD；对应边上的中线也相等，则CM=CN。2)、全等三角形中，对应线段所夹的角也相等，角ACM=BCN。Rt三角形ACB中，角ACB=90=ACM+BCM=BCN+BCM=角MCN，即角MCN=90，MC垂直NC。3)、若绕C旋转，恒有MC=NC，MC垂直NC。

Answer 4

1、CM⊥CN，且CM=CN
2、成立