Question

如何用行列式计算矩阵的特征值和特征向量？

Answer 1

(A*)A=|A|E
同取行列式
|(A*)A|=||A|E|
|(A*)|*|A|=||A|E|=|A|^3
|A*|=|A|^2=（-1*1*2）^2=4
|A^2-2A+E|=|(A-E)^2|=|A-E|^2
A-E的特征值是：-2,0,1
所以|A-E|=0
|A^2-2A+E|=0

Answer 2

设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，如果存在数 $\\lambda$ 和 $n$ 维非零向量 $\\boldsymbol{x}$，使得 $A\\boldsymbol{x}=\\lambda\\boldsymbol{x}$，则称 $\\lambda$ 是 $A$ 的特征值，$\\boldsymbol{x}$ 是相应的特征向量。对于方阵 $A$，其特征值和特征向量可以通过求解以下方程得到：$$|A-\\lambda I|=0$$其中 $I$ 是 $n$ 阶单位矩阵，$|A-\\lambda I|$ 表示矩阵 $A-\\lambda I$ 的行列式。上述方程的解即为 $A$ 的特征值。求出特征值后，将其代入下列方程组中，求解出相应的特征向量：$$(A-\\lambda I)\\boldsymbol{x}=0$$其中 $\\boldsymbol{x}$ 是 $n$ 维列向量。注意：若有多个同样的特征值，则该特征值对应的特征向量并不唯一。综上，我们可以通过行列式方法求解矩阵的特征值和特征向量。