Question

高数三重积分疑问

我举一例 对2zdxdydz的三重积分 积分区域为x^2+y^2+z^2=a^2（a为常数）
这个题目能用先对xy的二重积分再对z积分吗为什么我用这个方法算出来为0呢？还有能利用球面坐标计算呢？请大神把两种解法都算一遍，要有过程谢谢

Answer 1

积分区域应为x^2+y^2+z^2<=a^2(常数a>0)，
原式=∫∫<D>dxdy∫<-√（a^-x^-y^),√(a^-x^-y^)>zdz
=0.其中D是x,y的积分区域。

设x=rcosαcosβ,y=rcosαsinβ,z=rsinα,则
α，β∈[0,2π),0<=r<=a,
J=
cosαcosβ cosαsinβ sinα
-rsinαcosβ -rsinαsinβ rcosα
-rcosαsinβ rcosαcosβ 0
=-r^sin^αcosα-(rcosα)^cosα
=-r^cosα,
原式=-∫<0,2π>dα∫<0,2π>dβ∫<0,a>2r^3sinαcosadr
=-∫<0,2π>dα*πa^4sinαcosα
=(-π/2)a^4∫<0,2π>sin2αdα
=(π/4)cos2α|<0,2π>
=0.