Question

用拉格朗日乘数法,求中心在原点的椭圆x^2-4xy+5y^2=1的长半轴和短半轴

高分跪求大神给出解答，，，

Answer 1

目标函数是
F(x,y) = x^2+y^2
限制条件是这个椭圆方程G(x,y)=x^2-4xy+5y^2-1=0

令L(x,y) = F(x,y)-k*G(x,y)
所以有 dL/dx=0 and dL/dy=0 (这里应该用偏导符号)，以及已知方程G(x,y)=0。
解出满足这三个方程的所有的(x,y)。再将解出的(x,y) （应该有至少两组）代回F(x,y)，最大的F(x,y)是长半轴，最小的（正）F(x,y)是短半轴

追问

就是不会解出x,y，告诉我怎么解吧。。

追答

dL/dx=2x-k(2x-4y)=0 => x-kx+2ky=0 => y=x(k-1)/(2k)
dL/dy=2y-k(-4x+10y)=0 => y+2kx-5ky=0 => x=y(5k-1)/(2k)
两式相乘可得
xy=xy(k-1)(5k-1)/(4k^2)
=> (k-1)(5k-1)=4k^2
解出k，有两个。其实k的两个值刚好一个是长半轴的长度的平方，一个是短半轴长度的平方。

追问

为什么k就是半轴的平方诶~

追答

dL/dx=2x-k(2x-4y)=0 => x-kx+2ky=0 => x^2=kx^2-2kxy
dL/dy=2y-k(-4x+10y)=0 => y+2kx-5ky=0 => y^2=5ky^2-2kxy
两式相加
x^2+y^2=kx^2-4kxy+5ky^2=k(x^2-4xy+5y^2)=k (注意x^2-4xy+5y^2=1)
所以k=x^2+y^2是长度的平方。