Question

求矩阵的逆要详细的解题过程！

Answer 1

显然A是可逆的，
用初等行变化求矩阵的逆矩阵

即用行变换把矩阵(A，E)化成(E，B)的形式，那么B就等于A的逆
在这里
(A，E)=
1 0 0 0 1 0 0 0
1 2 0 0 0 1 0 0
2 1 3 0 0 0 1 0
1 2 1 4 0 0 0 1 第4行减去第2行，第2行减去第1行，第3行减去第1行×2
～
1 0 0 0 1 0 0 0
0 2 0 0 -1 1 0 0
0 1 3 0 -2 0 1 0
0 0 1 4 0 -1 0 1 第2行除以2
～
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 -1/2 1/2 0 0
0 1 3 0 -2 0 1 0
0 0 1 4 0 -1 0 1 第3行减去第2行
～
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 -1/2 1/2 0 0
0 0 3 0 -3/2 -1/2 1 0
0 0 1 4 0 - 1 0 1 第3行除以3，第4行减去第3行
～
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 -1/2 1/2 0 0
0 0 1 0 -1/2 -1/6 1/3 0
0 0 0 4 1/2 -5/6 -1/3 1 第4行除以4
～
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 -1/2 1/2 0 0
0 0 1 0 -1/2 -1/6 1/3 0
0 0 0 1 1/8 -5/24 -1/12 1/4
这样就已经通过初等行变换把(A,E)～(E,A^-1)
于是得到了原矩阵的逆矩阵就是
1 0 0 0
-1/2 1/2 0 0
-1/2 -1/6 1/3 0
1/8 -5/24 -1/12 1/4

Answer 2

因为这是个下三角矩阵，它的行列式等于主对角线上的元素（1，2，3，4）的乘积，即 det(A) = 1*2*3*4=24。因为det(A)不是0，所以A可逆。

求A的逆，可以先写出[A|I] 的形式。这里I是4维单位矩阵。通过行变换，将A化简成I,并且将相同的行变换作用到I上，那么I就变成A的逆了。
［A | I］-----> 行变换 ------> ［I | A逆］