Question

已知等边三角形和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．

如图（1）），此时h3=0，可得结论：h1＋h2＋h3=h。
（1）请证明上述结论。
(2)当点P在△ABC内（如图（2））、点P在△ABC外（如图（3））这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，h1、h2、h3与h之间又有怎样的关系．请写出你的猜想，不需证明．解答过程详细点

Answer 1

1 ，连接AP，
S(ABC)=BC*AM/2=AB*DP/2+AC*PE/2 AB=BC=AC
AM=DP+PE
h=h1+h2 h3=0 h=h1+h2+h3
2, 过P点做NQ//BC，连接AP。(另一方法直接联接AP、BP、CP，可以自己证明下)
NQ//BC AN=AQ ∠NAQ=60 △ANQ为等边三角形。
由1可知，AK=PD+PE KM=PF
AK+KM=PD+PE+PF
h=h1+h2+h3
3, 连接BP、AP、PC。
S(ABC)=S(APB)+S(APC)-S(BPC)
BC*AM/2=AB*DP/2+AC*PE/2-BC*PF/2 BC=AB=BC
AM=DP+PE-PF
h=h1+h2-h3