Question

帮我解下这道题，谢谢了

7^5-7,11^5-11,13^5-13,17^5-17，。。。。。。。（大于等于7的质数的五次幂减去它本身）。这所有无穷多个数的最大公约数是多少？把步骤写出来，我要的就是步骤，不要答案！

Answer 1

答：设n是大于等于7的质数。
n^5-n
=n(n^4-1)
=n(n²-1)(n²+1)
=n(n-1)(n+1)(n²+1)
因为：n是大于等于7的质数
所以：n是奇数
所以：n-1、n+1都是偶数，可以继续分解；n²是奇数，n²+1也可以继续分解
因为：只有n本身不能继续分解
因此：最大公约数是n

追问

不对，答案是240

追答

n^5-n=n(n-1)(n+1)(n²+1)
公约数在(n-1)(n+1)(n²+1)里面考虑。
n-1、n+1和n²+1里面可以分解出2*2*2=8
n-1和n+1和n²+1里面最终还能分解出公约数2、3、5
(至于这个证明就超出我的能力了，暂时还没有想到）
因此最大公约数是2*3*5*8=240

下面是baidu搜到的解答：

解：
（1）7的5次方-7=7×（7的4次方-1）；11的5次-11=11×（11的4次方-1）；13的5次-13=13×（13的4次方-1）；…因为7、11、13、…互质，故：求7的5次方-7,11的5次-11,13的5次方-13,17的5次-17,......(大于等于7的质数的五次幕减去它本身)的最大公约数，也就是求7的4次方-1、11的4次方-1、13的4次方-1、…的最大公约数
（2）大于7的质数一定是奇数，设为2n+1，因为(2n+1) 的4次方-1=[(2n+1) ² -1][(2n+1) ² +1]=2n(2n+2)(4n ² +4n+2)=8n(n+1)(2n ² +2n+1),因为n(n+1)是两个连续的自然数，故能够被2整除，即：8n(n+1)(2n ² +2n+1)能够被16整除。
（3）大于7的质数一定是奇数，个位只能是1、3、7、9，故：(2n+1) 的4次方-1的个位是0，即：能够被10整除
故：最大公约数一定能够被80整除。
另外：质数只能表示为6r+1或6r+5的形式（不能表示为6r、6r+2、6r+3、6r+4的形式，因为它们都是合数）.且(6r+1) 的4次方-1、(6r+5) 的4次方-1按（2）办法，能够证明能被3整除。
故：最大公约数一定能够被240整除。
故：选D