Question

已知α、β均为锐角且cosα=4/5，tan(α-β)=-1/3

已知α、β均为锐角且cosα=4/5，tan(α-β)=-1/3 (1)求cos(α-β)的值 (2)求sinβ的值

Answer 1

(1)cos²(α-β)=cos²(α-β)/[cos²(α-β)+sin²(α-β)]=1/[1+tan²(α-β)]=1/(1+1/9)=9/10，
∵α、β均为锐角，∴-π/2<α-β<π/2，cos(α-β)>0，
故cos(α-β)=3√10/10。
(2)∵cos(α-β)=3√10/10，tan(α-β)=-1/3，
∴sin(α-β)=cos(α-β)tan(α-β)= -√10/10，
又α为锐角且cosα=4/5，得sinα=3/5，
故sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)=13√10/50。

Answer 2

∵α、β均为锐角,cosα=4/5
∴sinα=3/5
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)
=(3/4-tanβ)/(1+3tanβ/4)
=-1/3
即 3/4-tanβ=-1/3-tanβ/4
3/4+1/3 =3tanβ/4.
∴ tanβ=13/9
cosβ=9/√(13²+9²)=9/√250=(9√10)/50
∴sinβ=13/50
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=