Question

截长补短法的用法例题

Answer 1

例1：正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，∠EAF=45。求证：EF=DE+BF。
证明：延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。
∵ABCD是正方形
∴∠ADG=∠ABF=90°，AD=AB
又∵DG=BF
∴ADG≌ABF（SAS）
∴∠GAD=∠FAB，AG=AF
∵ABCD是正方形
∴∠DAB=90°
=∠DAF+∠FAB
=∠DAF+∠GAD
=∠GAF
∴∠GAE=∠GAF-∠EAF
=90°-45°
=45°
∵∠GAE=∠FAE=45°，AG=AF，AE=AE
∴△EAG≌△EAF（SAS）
∴EF=GE
=GD+DE
=BF+DE
例2：如图，已知AD∥BC，AB=AD+BC，E是CD的中点，求∠AEB的度数。
解：向AE方向延长AE，交BC的延长线于F。
∵∠5和∠6是对顶角
∴∠5=∠6
∵E是CD的中点
∴DE=EC
∵AD∥BC
∴∠1=∠F
∴△AED≌△CEF（AAS)
∴AD=CF，AE=EF
∴AB=AD+BC
=CF+BC
=BF
∴△ABF是等腰三角形且AF为底边
又∵AE=EF且点E在线段AF上
∴BE⊥AF
∴∠AEB=90°
例3：如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC。求证：AB+BD=AC。
证明：在AC上截取AE=AB，连接DE
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
又∵AD=AD，AB=AE
∴△ABD≌△AED（SAS）
∴BD=DE，∠B=∠3
又∵∠B=2∠C
∴∠3=2∠C
又∵∠3=∠4+∠C
∴2∠C=∠4+∠C
即∠C=∠4
∴DE=CE
∴BD=CE
∵AE+EC=AC
∴AB+BD=AC
例4：如图，AC平分∠DAB，∠ADC+∠B=180°。求证：CD=CB。
证明：在AB上找一点E，使AE=AD，连接CE
∵AC平分∠DAB
∴∠DAC=∠BAC
又∵AE=AD，AC=AC
∴△ACD≌△ACE(SAS)
∴∠ADC=∠AEC，CD=CE
∵∠ADC=∠AEC
∴∠AEC+∠B=∠ADC+∠B=180°
∵∠CEB+∠AEC=180°
∴∠B=∠CEB
∴CE=CB
∴CD=CB