Question

不定积分、定积分求解

Answer 1

第1题：
令arccot（e^x）＝u，则e^x＝cotu，∴x＝ln（cotu），
∴dx＝（1/cotu）d（cotu）＝（sinu/cosu）［－1/（sinu）^2］du＝－［1/（sinucosu）］du。
∴∫［arccot（e^x）/e^x］dx
＝－∫（u/cotu）［1/（sinucosu）］du＝－∫［u/（cosu）^2］du＝－∫ud（tanu）
＝－utanu＋∫tanudu＝－arccot（e^x）/e^x－ln（cosu）＋C
＝－arccot（e^x）/e^x－ln｛cotu/√［1＋（cotu）^2］｝＋C
＝－arccot（e^x）/e^x－ln［e^x/√（1＋e^x）］＋C

第2题：
令t＝√（x－4），则：x－4＝t^2，x＝4＋t^2，dx＝2tdt。
∴∫｛（x＋1）/［x√（x－4）］｝dx
＝2∫｛（4＋t^2＋1）/［（4＋t^2）t］tdt＝2∫［（t^2＋4＋1）/（t^2＋4）］dt
＝2∫dt＋2∫［1/（t^2＋4）］dt＝2t＋（1/2）∫｛1/［（t/2）^2＋1］｝dt
＝2√（x－4）＋∫｛1/［（t/2）^2＋1］｝d（t/2）＝2√（x－4）＋tan（t/2）＋C
＝2√（x－4）＋tan［（1/2）√（x－4）］＋C。

第3题：
∵∫（e^x）sin2xdx
＝∫sin2xd（e^x）＝（e^x）sin2x－∫e^xd（sin2x）＝（e^x）sin2x－∫（e^x）cos2xd（2x）
＝（e^x）sin2x－2∫（e^x）cos2xdx＝（e^x）sin2x－2∫cos2xd（e^x）
＝（e^x）sin2x－2（e^x）cos2x＋2∫e^xd（cos2x）
＝（e^x）sin2x－2（e^x）cos2x－2∫（e^x）sin2xd（2x）
＝（e^x）sin2x－2（e^x）cos2x－4∫（e^x）sin2xdx，
∴5∫（e^x）sin2xdx＝（e^x）sin2x－2（e^x）cos2x＋C，
∴∫（e^x）sin2xdx＝（1/5）［（e^x）sin2x－2（e^x）cos2x］＋C。

∴∫（上限为π/2、下限为0）（e^x）sin2xdx
＝（1/5）［（e^x）sin2x－2（e^x）cos2x］｜（上限为π/2、下限为0）
＝（1/5）｛［e^（π/2）］sinπ－2［e^（π/2）］cosπ｝
　－（1/5）［（e^0）sin0－2（e^0）cos0］
＝（2/5）e^（π/2）＋2/5。

第4题：
令1＋x＝2sint，则：t＝arcsin［（x＋1）/2］，x＝2sint－1，∴dx＝2costdt。
∴∫［x/√（3－2x－x^2）］dx
＝∫｛x/√［4－（1＋x）^2］｝dx＝2∫｛（2sint－1）/√［4－4（sint）^2］｝costdt
＝∫（2sint－1）dt＝2∫sintdt－∫dt＝－2cost－t＋C
＝－√［4－（2sint）^2］－arcsin［（x＋1）/2］＋C
＝－√［4－（1＋x）^2］－arcsin［（x＋1）/2］＋C。

∴∫（上限为0、下限为－1）［x/√（3－2x－x^2）］dx
＝｛－√［4－（1＋x）^2］－arcsin［（x＋1）/2］｝｜（上限为0、下限为－1）
＝｛－√［4－（1＋0）^2］－arcsin［（0＋1）/2］｝
　－｛－√［4－（1－1）^2］－arcsin［（－1＋1）/2］｝
＝－√3－arcsin（1/2）＋2
＝2－√3－arcsin（1/2）。

显然，arcsin（1/2）＝2kπ＋π/6，或arcsin（1/2）＝2kπ＋5π/6。
∴∫（上限为0、下限为－1）［x/√（3－2x－x^2）］dx＝2－√3－2kπ－π/6。
或∫（上限为0、下限为－1）［x/√（3－2x－x^2）］dx＝2－√3－2kπ－5π/6。