Question

怎样证明函数在某点处连续可导?

Answer 1

函数连续可导，但函数可导可不一定连续，所以先考虑怎么分析函数是否连续。设一个函数y=f(x), x在它的定义域内，y有意义。我们接下来谈的都是在x的定义域内。先在x的定义域内任意区一点x',那么y'=f(x'), 我们借助极限的概念， 当x从左边趋近于x'时，看看y是否趋近于y'；同理，当x从右边趋近于x'时，看看y是否趋近于y'。如果都成立，我们可以说函数y=f(x), x在它的定义域内是连续的，否则不连续。由函数的连续，可以得到此函数可导。
关于函数的导数和连续有下面四点结论：
1、连续的函数不一定可导.
2、可导的函数是连续的函数.
3、越是高阶可导函数曲线越是光滑.
4、存在处处连续但处处不可导的函数.
左导数和右导数存在且“相等”,才是函数在该点可导的充要条件,不是左极限=右极限（左右极限都存在）.连续是函数的取值,可导是函数的变化率,当然可导是更高一个层次.