Question

数学竞赛，关于不等式的，如图

这个划一法，求大神解释：为什么齐次式可以设变量和为常数，这不是变成了a+b+c=K的条件下能取最小值，怎么说明其他情况恒大于成立了，求说明这种方法是可行的或不行

Answer 1

注意到均为齐次式，如果和不是3，那么必存在m使得

a+b+c=3m

那么以

a'=a/m,b'=b/m,c'=c/m

替换原来的a,b,c即可.

本质原因是“齐次式”

 

Answer 2

式子当a+b+c=3时成立，设此时a=a0，b=b0，c=c0
当a+b+c≠3时，可设a+b+c=3k，k为正整数，当a=3a0，b=3b0，c=3c0时代入左式，成立。

追问

谢谢回答，可是我想问的是为什么齐次式可以用这种方法，够充要吗？？

追答

够。建立空间直角坐标系O-xyz，设a=x，b=y，c=z，则x+y+z=3为一个平面，而x+y+z=3k，k为正数，随着k取值不同，代表了一个个平行于x+y+z=3的平面，这些平面的集合就是满足x＞0，y＞0，z＞0的所有点的集合，即第一象限。

Answer 3

看to_block的，写的就是你问的。

追问

我觉得他说意思是a=b=c=k,k为正整数时都成立，可你怎么说a=b=c=k时就取到了最大值

追答

看图很清楚。首先上面那个把（x-1）平方约掉，可看出对每个数都是=1时取最大，而此时满足a+b+c=3.

追问

谢谢，我应该懂了，最后一个问题就给分
这题要证左边<右边，我们是找了两个中间体进行了恒等放缩，因为是找存在即可，所以a+b+c=3就证毕了，，，，但这种方法为什么齐次式才能用啊

追答

还是，看to_clock,只有齐次式才能最后消掉。
请注意，式子划开后都是二次项，即要么某个数的平方，要么是两个数相乘，这样，无论你把a+b+c设成什么，即to_clock和Lagrangehxl的，都能约掉，即a+b+c的值对结果无影响。