Question

函数y=丨cos2x丨+丨cosx丨的值域为

Answer 1

cosx的最小正周期为2π; |cosx|将cosx的图象在x轴以下的部分翻折到x轴以上，所以为|cosx|最小正周期为2π/2 = π

类似地，|cos2x|的最小正周期为π/2

二者的最小公倍数为π，现在只须考虑[0, π]

x在[0, π/2]上, cosx ≥ 0

x在[π/2, π]上, cosx ≤ 0

x在[0, π/4]或[π/2, 3π/4]上, cosx ≥ 0

x在[π/4, π/2]或[3/4, π]上, cosx ≤ 0

(1) x在[0, π/4]上

y = f(x) = cos2x + cosx  = 2cos²x + cosx - 1 

f'(x) = 4cosx(-sinx) - sinx = -sinx(4cosx + 1)

x在[0, π/4]上, sinx > 0, 4cosx + 1 > 0, f'(x) ≤ 0

此区间内的最小值为f(π/4) = cos(π/2) + cos(π/4) = √2/2

此区间内的最大值为f(0) = cos0 + cos0 = 2

(2) x在[π/4, π/2]上

y = f(x) = -cos2x + cosx = 1 - 2cos²x + cosx

f'(x) = -4cosx(-sinx) - sinx = sinx(4cosx - 1)
cosx = 1/4时, f(x)在此区间取最大值，但肯定小于2

此区间内的最小值为f(π/4) = cos(π/2) + cos(π/4) = √2/2

其它区间可以类似做, y的值域为[√2/2, 2]

请自己仔细复查以下。

Answer 2

很明显此为分段函数/故分X>o,x=o,
x<O研究。X>O时值域(-4/3,正无穷)
=O时 y为2 <o时
(负无穷,1)

Answer 3

值域是0到2.