Question

求幂级数Σ（n+1）x^n在收敛域内的和函数，高手帮助我啊！！十分！！！

Σ（n+1）x^n
下标n=0 到无穷

求详细步骤 谢谢！！

Answer 1

显然由比值审敛法易知其收敛域为(-1,1)

∑(n+1)/n(x^n)=∑(1+1/n)*x^n=∑x^n+∑(1/n)*x^n=x/(1-x)+∑(1/n)*x^n

令f(x)=∑(1/n)*x^n

则f′(x)=∑x^(n-1)=1/(1-x)

所以f(x)=∫(上x,下0)1/(1-x) dx =-ln(1-x)

所以

∑(n+1)/n(x^n)=x/(1-x)-ln(1-x)

迭代算法的敛散性

1、全局收敛

对于任意的X0∈[a,b],由迭代式Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，即其当k→∞时，Xk的极限趋于X*，则称Xk+1=φ（Xk）在[a，b]上收敛于X*。

2、局部收敛

若存在X*在某邻域R={X| |X-X*|<δ},对任何的X0∈R，由Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，则称Xk+1=φ（Xk）在R上收敛于X*。

Answer 2

记该级数为 f(x)，逐项积分，得
　 ∫[0,x]f(t)dt =Σ(n=0~inf.)(n+1)∫[0,x](t^n)dt
　= Σ(n=0~inf.) [x^(n+1)] = 1/(1-x)-1，-1<x<1，
求导，即得
　f(x) = …… ，-1<x<1。

追问

请问下标是不是变了？变成1？

请问下标是不是变了？变成1？

追答

你问的是不是这个意思：
Σ(n=0~inf.) [x^(n+1)]
= Σ(n=1~inf.) (x^n) = 1/(1-x)-1，-1<x<1。

追问

是的，为什么呢？？？？解释下 谢谢！！

追答

记m=n+1，则n=0~inf. m=1~inf.，再把m换成n。

Answer 3

利用幂级数可以分部求导的性质：
且已知Σx^n = 1/ (1-x)
Σ（n+1）x^n = Σ[x^(n+1)]’ = [Σx^(n+1)]’ = [xΣx^n]’ = [x/(1-x)]' = 1 / (1-x)^2

追问

请问下标是不是变了？变成1？

追答

下标没有变，下标n=0 到无穷时，Σx^n = 1/ (1-x)