Question

∫(0,+∞) e^-xdx

Answer 1

答案为1

解题过程如下：

原式=-∫(0到+∞) e^(-x)d(-x)

=-e^(-x)(0到+∞) 

=-[e^(-∞)-e^0]

=1

扩展资料

常用积分公式：

1）∫0dx=c

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

Answer 2

∫(0,+∞) e^-xdx=1。

解答过程如下：

∫ e^(-x)dx

=∫ -e^(-x)d(-x)

= -e^(-x) +C，C为常数。

所以

∫(0,+∞) e^(-x)dx

= -e^(-x) ，代入上下限+∞和0

= -e^(-∞) +e^0

显然e^(-∞)=0，而e^0=1

所以

∫(0,+∞) e^(-x)dx

= -e^(-∞) +e^0

= 1

扩展资料：

定积分一般定理：

定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

9、∫ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C

10、∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C = (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C = - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C

Answer 3

∫(0,+∞) e^-xdx=1

解：令F(x)为函数f(x)=e^-x的原函数。则

F(x)=∫e^-xdx

=∫(e^x)/(e^2x)dx

=∫1/(e^2x)d(e^x)

=-1/e^x+C

那么，∫(0,+∞) e^-xdx=F(+∞)-F(0)

=0-(-1)

=1

即∫(0,+∞) e^-xdx=1

扩展资料：

1、定积分的性质

若F(x)为f(x)的原函数，则F(x)=∫f(x)dx。那么∫(a,b)f(x)dx=F(b)-F(a)

（1）a=b时，则∫(a,a)f(x)dx=F(a)-F(a)=0

（2）a≠b时，则∫(a,b)f(x)dx=-∫(b,a)f(x)dx=F(b)-F(a)

（3）∫(a,a)k*f(x)dx=k*∫(a,b)f(x)dx=k*（F(b)-F(a)），（其中k为不为零的常数）

2、不定积分的运算法则

（1）函数的和（差）的不定积分等于各个函数的不定积分的和（差）。即：

∫[a(x)±b(x)]dx=∫a(x)dx±∫b(x)dx

（2）求不定积分时，被积函数中的常数因子可以提到积分号外面来。即：

∫k*a(x)dx=k*∫a(x)dx

3、不定积分公式：∫1/(x^2)dx=-1/x+C、∫adx=ax+C、∫1/xdx=ln|x|+C、∫cosxdx=sinx+C、∫sinxdx=-cosx+C

参考资料来源：百度百科-定积分

参考资料来源：百度百科-不定积分

Answer 4

∫(0,+∞) e^-xdx=1。

解答过程如下：

∫ e^(-x)dx

=∫ -e^(-x)d(-x)

= -e^(-x) +C，C为常数。

所以

∫(0,+∞) e^(-x)dx

= -e^(-x) ，代入上下限+∞和0

= -e^(-∞) +e^0

显然e^(-∞)=0，而e^0=1

所以

∫(0,+∞) e^(-x)dx

= -e^(-∞) +e^0

= 1

扩展资料：

分部积分：

(uv)'=u'v+uv'

得：u'v=(uv)'-uv'

两边积分得：∫ u'v dx=∫ (uv)' dx - ∫ uv' dx

即：∫ u'v dx = uv - ∫ uv' d,这就是分部积分公式

也可简写为：∫ v du = uv - ∫ u dv

常用积分公式：

1）∫0dx=c 

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c

Answer 5

由基本积分公式可以知道，
∫ e^(-x)dx
=∫ -e^(-x)d(-x)
= -e^(-x) +C,C为常数
所以
∫(0,+∞) e^(-x)dx
= -e^(-x) ，代入上下限+∞和0
= -e^(-∞) +e^0
显然e^(-∞)=0，而e^0=1
所以
∫(0,+∞) e^(-x)dx
= -e^(-∞) +e^0
= 1

追问

为什么-e^(-∞) =0

追答

你这样想，e^x在x趋于正无穷的时候显然是无穷的吧，
那么

e^(-x)=1/e^x，
在x趋于正无穷的时候，分母e^x趋于正无穷，
而分子是常数1，
显然1/∞就是趋于0的，

所以-e^(-∞) =0