∫(0,+∞) e^-xdx
2024-11-22 广告
∫(0,+∞) e^-xdx=1。
解答过程如下:
∫ e^(-x)dx
=∫ -e^(-x)d(-x)
= -e^(-x) +C,C为常数。
所以
∫(0,+∞) e^(-x)dx
= -e^(-x) ,代入上下限+∞和0
= -e^(-∞) +e^0
显然e^(-∞)=0,而e^0=1
所以
∫(0,+∞) e^(-x)dx
= -e^(-∞) +e^0
= 1
扩展资料:
定积分一般定理:
定理1:设f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积。
定理2:设f(x)区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在[a,b]上可积。
定理3:设f(x)在区间[a,b]上单调,则f(x)在[a,b]上可积。
不定积分的公式
1、∫ a dx = ax + C,a和C都是常数
2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C,其中a为常数且 a ≠ -1
3、∫ 1/x dx = ln|x| + C
4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C,其中a > 0 且 a ≠ 1
5、∫ e^x dx = e^x + C
6、∫ cosx dx = sinx + C
7、∫ sinx dx = - cosx + C
8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C
9、∫ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C
10、∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C = (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C = - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C
∫(0,+∞) e^-xdx=1
解:令F(x)为函数f(x)=e^-x的原函数。则
F(x)=∫e^-xdx
=∫(e^x)/(e^2x)dx
=∫1/(e^2x)d(e^x)
=-1/e^x+C
那么,∫(0,+∞) e^-xdx=F(+∞)-F(0)
=0-(-1)
=1
即∫(0,+∞) e^-xdx=1
扩展资料:
1、定积分的性质
若F(x)为f(x)的原函数,则F(x)=∫f(x)dx。那么∫(a,b)f(x)dx=F(b)-F(a)
(1)a=b时,则∫(a,a)f(x)dx=F(a)-F(a)=0
(2)a≠b时,则∫(a,b)f(x)dx=-∫(b,a)f(x)dx=F(b)-F(a)
(3)∫(a,a)k*f(x)dx=k*∫(a,b)f(x)dx=k*(F(b)-F(a)),(其中k为不为零的常数)
2、不定积分的运算法则
(1)函数的和(差)的不定积分等于各个函数的不定积分的和(差)。即:
∫[a(x)±b(x)]dx=∫a(x)dx±∫b(x)dx
(2)求不定积分时,被积函数中的常数因子可以提到积分号外面来。即:
∫k*a(x)dx=k*∫a(x)dx
3、不定积分公式:∫1/(x^2)dx=-1/x+C、∫adx=ax+C、∫1/xdx=ln|x|+C、∫cosxdx=sinx+C、∫sinxdx=-cosx+C
参考资料来源:百度百科-定积分
参考资料来源:百度百科-不定积分
∫(0,+∞) e^-xdx=1。
解答过程如下:
∫ e^(-x)dx
=∫ -e^(-x)d(-x)
= -e^(-x) +C,C为常数。
所以
∫(0,+∞) e^(-x)dx
= -e^(-x) ,代入上下限+∞和0
= -e^(-∞) +e^0
显然e^(-∞)=0,而e^0=1
所以
∫(0,+∞) e^(-x)dx
= -e^(-∞) +e^0
= 1
扩展资料:
分部积分:
(uv)'=u'v+uv'
得:u'v=(uv)'-uv'
两边积分得:∫ u'v dx=∫ (uv)' dx - ∫ uv' dx
即:∫ u'v dx = uv - ∫ uv' d,这就是分部积分公式
也可简写为:∫ v du = uv - ∫ u dv
常用积分公式:
1)∫0dx=c
2)∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c
3)∫1/xdx=ln|x|+c
4)∫a^xdx=(a^x)/lna+c
5)∫e^xdx=e^x+c
6)∫sinxdx=-cosx+c
7)∫cosxdx=sinx+c
8)∫1/(cosx)^2dx=tanx+c
9)∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c
10)∫1/√(1-x^2) dx=arcsinx+c
∫ e^(-x)dx
=∫ -e^(-x)d(-x)
= -e^(-x) +C,C为常数
所以
∫(0,+∞) e^(-x)dx
= -e^(-x) ,代入上下限+∞和0
= -e^(-∞) +e^0
显然e^(-∞)=0,而e^0=1
所以
∫(0,+∞) e^(-x)dx
= -e^(-∞) +e^0
= 1
为什么-e^(-∞) =0
你这样想,e^x在x趋于正无穷的时候显然是无穷的吧,
那么
e^(-x)=1/e^x,
在x趋于正无穷的时候,分母e^x趋于正无穷,
而分子是常数1,
显然1/∞就是趋于0的,
所以-e^(-∞) =0