Question

位移法的计算种类

Answer 1

位移法可按两种思路求解结点位移和杆端弯矩：典型方程法和平衡方程法。下面给出典型方程法的解题思路和解题步骤。
1、位移法典型方程的建立：
欲用位移法求解图a所示结构，先选图b为基本体系。然后，使基本体系发生与原结构相同的结点位移，受相同的荷载，又因原结构中无附加约束，故基本体系的附加约束中的约束反力（矩）必须为零，即：R1=0，R2=0。
而Ri是基本体系在结点位移Z1，Z2和荷载共同作用下产生的第i个附加约束中的反力（矩），按叠加原理Ri也等于各个因素分别作用时（如图c，d，e所示）产生的第i个附加约束中的反力（矩）之和。于是得到位移法典型方程：

注意：
1．位移法方程的物理意义：基本体系在荷载等外因和各结点位移共同作用下产生的附加约束中的反力（矩）等于零。实质上是原结构应满足的平衡条件。
2．位移法典型方程中每一项都是基本体系附加约束中的反力（矩）。其中：RiP表示基本体系在荷载作用下产生的第i个附加约束中的反力（矩）；称为自由项。rijZj表示基本体系在Zj作用下产生的第i个附加约束中的反力（矩）；
3．主系数rii表示基本体系在Zi=1作用下产生的第i个附加约束中的反力（矩）；rii恒大于零；
4．付系数rij表示基本体系在Zj=1作用下产生的第i个附加约束中的反力（矩）；根据反力互等定理有rij=rji，付系数可大于零、等于零或小于零。
5．由于位移法的主要计算过程是建立方程求解方程，而位移法方程是平衡条件，所以位移法校核的重点是平衡条件（刚结点的力矩平衡和截面的投影平衡）。
2、求解步骤：
①确定位移法基本未知量，加入附加约束，取位移法基本体系。
②令附加约束发生与原结构相同的结点位移，根据基本结构在荷 载等外因和结点位移共同作用下产生的附加约束中的总反力（矩 ）=0，列位移法典型方程。
③绘出单位弯矩图、荷载弯矩图，利用平衡条件求系数和自由项 。
④解方程，求出结点位移。
⑤用公式 叠加最后弯矩图。并校核平衡条件。
⑥根据M图由杆件平衡求Q，绘Q图，再根据Q图由结点投影平衡求N ，绘N图。 1、截面直杆的转角位移方程
各种因素共同作用下杆端弯矩的表达式称为转角位移方程。
①两端固定梁转角位移方程：
②一端固定一端铰支梁转角位移方程：
③ 一端固定一端定向支承梁转角位移方程：
④已知杆端弯矩，可由杆件的矩平衡方程求出剪力：
其中 是相应的简支梁在荷载作用下的杆端剪力；MAB，MBA的正负按位移法规定。
2、直接列平衡方程法：
位移法方程实质上是静力平衡方程。对于结点角位移，相应的是结点的力矩平衡方程；对于结点线位移，相应的是截面的投影平衡方程。用基本体系方法计算时，是借助于基本体系这个工具，以达到分步、分项写出平衡方程的目的。
也可以不用基本体系，直接由转角位移方程，写出各杆件的杆端力表达式，在有结点角位移处，建立结点的力矩平衡方程；在有结点线位移处，建立截面的投影平衡方程。这些方程也就是位移法的基本方程。
3、求解步骤：
1）确定基本未知量；
2）由转角位移方程，写出各杆端力表达式；
3）在由结点角位移处，建立结点的力矩平衡方程，在由结点线位移处，建立截面的剪力平衡方程， 得到位移法方程；
4）解方程，求基本未知量；
5) 将已知的结点位移代入各杆端力表达式，得到杆端力；
6）按杆端力作弯矩图。
4、排架计算（剪力分配法）：
1）设Ji为排架柱的侧移刚度系数。Ji是仅使柱顶发生单位侧移时，在柱顶产生的剪力。一端固定一端铰支　的杆的侧移刚度是：Ji=3EI/h3； 两端固定杆的侧移刚度是：Ji=12EI/h3。剪力分配系数；
2）当排架仅在柱顶受水平集中力P作用时，柱顶集中荷载P作为各柱的总剪力，按各柱的剪力分配系数μi进行比例分配，求出各柱剪力，再由反弯点开始即可作出弯矩图。