Question

一道数学证明题，急！！！！

如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,若AC平分角DAB,且AB=AE、AC=AD,有如下四个结论：
AC垂直BD BC=DE 角DBC=1/2角DAB 三角形ABE是正三角形
正确的有__________

Answer 1

BC=DE肯定正确，因为三角形ABC和三角形AED全等（用边角边证，AB=AE，角BAC=角EAD，AC=AD）。
AC垂直BD应该不对吧？因为要画出一幅符合所有条件的图，只需要画一个等腰三角形ABE（AB和AE为两腰），然后AD的方向是由角DAE=角EAB决定的，在这个方向上画一条直线，然后延长BE与这个直线相交，交点就是D。最后延长AE到C点，使得AC和AD相等。要作这个图并不要求最开始AEB是直角。因此AC不必垂直于BD。不过楼上说AC垂直BD是对的，也许我想错了。
ABE是正三角形也应该不对，理由同上一段，作图过程中不需要它是正三角形。
角DBC=1/2角DAB暂时无法确定，有空再想一下。。

Answer 2

我觉得2，3是对的
根据题目所给条件可以轻易判断出三角形ADE与三角形ACB全等。
那么DE=CB 所以2是对的

由全等，我们知道角ADE=角ACB 我们不妨设他们的角度为y， 因为AE=AB，所以我们不妨设角AEB=角ABE=x 那么根据外角 易求的角DAC=角CAB=角DBC=x-y 所以三是对的

至于1，4则没有条件，无法证明。

Answer 3

(1)AC⊥BD,不正确.
若AC⊥BD由AB=AE得:△ABE是等腰三角形,两底角小于90°与AC⊥BD矛盾.

(2)BC=DE,正确.
∵AC平分∠DAB
∴∠DAC=∠BAC且AB=AE AC=AD
∴△ABC≌△ADE
BC=DE

(3)∠DBC=1/2∠DAB,正确.
△ABE和△ACD都是等腰三角形,且△ABE∽△ACD
可得△ECD,∠EDC=1/2∠DAB
BC=DE=CD得△BCD是等腰三角形
∠DBC=1/2∠DAB

(4)△ABE为正三角形,不正确.
若△ABE为正三角形,∠DAB=120°则∠DAB≠120°时△ABE不是正三角形

Answer 4

根据排除法只有bc=de才有可能，其他都不对，其实我更加相信题出错了，中间有一部推出一个角为0，你看看是不是题错了 1,3,4绝对错，至于第三个，你看看如果平分，那么ABE=EBC，又因为ABE=AEB,所以EBC=AEB，但是角AEB确实三角形ECB 的外角，AEB=EBC+ECB，显然ECB不为0，所以第三个是绝对不正确的，希望能帮到你

Answer 5

你那幅图有点小，而且你的字母打错位置了吧……C和D调换了，我照着这幅图试着说说看：
连接CE，BC，EH，BH
先看三角形ABC中，EF为三等分点
所以三角形BEC的面积=2/3三角形ABC的面积
同理三角形BCG的面积=2/3三角形BCD的面积
所以四边形BECH的面积=2/3四边形ABCD的面积
再看三角形ECH中，G为CH中点
所以三角形EGH=1/2三角形ECH
同理三角形EFH=1/2三角形BEH
所以四边形EFHG=1/2四边形BECH=1/3四边形ABDC