Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx(a.b为常数,a不等于0).满足条件f(1+x)=f(1-x),且方程f(x)=x有等根。求

是否存在m,n(m＜n),使f(x）的定义域和值域分别为[m,n]和[3m，3n]如果存在求出m,n的值

Answer 1

1、 由f(1 x)=f(1-x)可以知道这个二次函数的对称轴为x=1,由于我们都知道二次函数抛物线的对称轴为x=-b/(2a) 于是也就是有-b/(2a)=1，即：b=-2a 再根据f(x=2x)有等根，也就是说一元二次方程ax (b-2)x=0的根的判别式=0.很明显有b=2,于是再根据第一个结果就有a=-1,于是f(x)的解析式就是f(x)=-x 2x 2、 由于f(x)的对称轴为x=1,因此当 0<t<1时，f(x)的最大值就是f(t)； t≥1时，f(x)的最大值就是f(1)=1
1、由f(1 x)=f(1-x)，可知对称轴x=-b/2a=1，即2a b=1。又方程f(x)=2x有等根，即ax (b-2)x=0有等根，所以(b-2)=0。所以a=-1/2，b=2，f(x)=-1/2x 2x。 2、由f(x)=-1/2x 2x，对称轴x=1，所以当t>=1时，最大值为3/2；当0<t<1时，最大值为-1/2t 2t。

Answer 2

分别讨论：
若1=<m<n 有函数的单调性可知：
3m=f(n)=-1/2n^2+n 3n=-1/2m^2+m
两式子相减得到3(m-n)=1/2(m+n)(m-n)-(m-n)
m+n=8 m^2-8m+48=0 m，n无解；
若m<n<=1 又单调性知 3m=-1/2m^2+m 3n=-1/2n^2+n
此时m=-4 n=0满足条件；
若m<1<n 由于此时函数的最大值必为X=1时取到为1/6；
所以 3n=1/2 所以 n=1/6 这与n>1矛盾
综合上述 存在这样的m，n
m=-4 n=0

Answer 3

求出方程解析式为f(x)=-1/2(x-1)�0�5+1/2
若存在，∵f(x)max=�0�5，∴3n≤�0�5，n≤�0�5
∵ 1/2＜1， ∴f(x)在[m,n]上单调递增
∴……
解得m=-4,n=0