Question

设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn=nan-n(n-1) ( n∈N)

设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn=nan-n(n-1) ( n∈N)
（1）求an

Answer 1

(1)证明：
因为：Sn=nan-n(n-1)
所以：an=Sn-S(n-1)=nan-n(n-1)-(n-1)a(n-1)+(n-1)(n-2)
化简得：(n-1)an-(n-1)a(n-1)-2n+2=0
(n-1)[an-a(n-1)]=2(n-1)

①当n≠1时，两边消去(n-1)，得：
an-a(n-1)=2
所以：数列{an}是以1为首项，2位公差的等差数列

an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1
即：当n≠1时，an=2n-1

②把n=1代入通项公式an=2n-1中
得：a1=1也满足

综合①②得：an=2n-1

(2)解;
1/[an*a(n+1)]=(1/2)*[(1/an)-(1/a(n+1))]
所以：Tn=(1/2)*[1-1/3+1/3-1/5+1/5-.........-1/(2n-1)+1/(2n-1)-1/(2n+1)]
=(1/2)*[1-1/(2n-1)]
=n/(2n+1)

n/(2n+1)>100/209
解得：n>100/9≈11.111
所以n最小正整数位12