Question

知道a+b+c=3，怎样求a方+b方+4c方的最小值

Answer 1

根据均值不等式，有：

(a² + b² + 4c²)/3 >= (a+b+2c)^2/9

又因为a+b+c=3，所以有a+b+2c=3+c，代入上式得：

(a² + b² + 4c²)/3 >= (3+c)^2/9

即：a² + b² + 4c² >= (3+c)^2

展开并移项得：a² + b² + 4c² - 6c - 8 >= 0

由于c是任意实数，所以最小值为无穷小，即当a² + b² + 4c² - 6c - 8 = 0 时，取得最小值。此时，根据a+b+c=3，可得c=1，代入得到a²+b²=3，所以最小值为2。

Answer 2

我们可以使用柯西-施瓦茨不等式来解决这个问题。
根据柯西-施瓦茨不等式，对于任意的实数a1、a2、b1、b2，有：
(a1^2 + a2^2)(b1^2 + b2^2) >= (a1b1 + a2b2)^2
将a、b、c分别看作a1、a2、b1、b2，可以得到：
(a^2 + b^2)(1^2 + 1^2 + 2^2) >= (a + b + 2c)^2
展开后得到：
a^2 + b^2 + 4c^2 + 2ab + 4ac + 4bc >= 9
又因为：
(a + b)^2 >= 4ab
所以：
a^2 + b^2 + 4c^2 + 2ab + 4ac + 4bc >= a^2 + b^2 + 4c^2 + 2 * 2ab + 4ac + 4bc >= (a + b)^2 + 4c^2 + 4ac + 4bc >= 9
因此：
a^2 + b^2 + 4c^2 >= 3
当且仅当a = b = 1，c = 0时，等号成立，此时a^2 + b^2 + 4c^2的最小值为3。