Question

请刘老师赐教:设行列式D=丨5x,1,2,3;2,1,x,3;x,x,2,3;1,2,1,-3x丨,则D的展开式中x4的系数为?

设行列式D=丨5x,1,2,3；2,1,x,3；x,x,2,3；1,2,1,-3x丨，则D的展开式中x4的系数为？

Answer 1

以: d(i,j) 表示D的第i行,第j列元素.
由于D的每一项,是由取自不同行,且不同列的元素的乘积,
故X^4的项只能产生于:d(1,1)*d(2,3)*d(3.2)*d(4,4)= 5*1*1(-3)*x^4 = -15x^4.
又由于:排列1,3,2,4的反序数为:1.(奇数).故该乘积前应当取负号.
即x^4的系数为: 15.

追问

若第三行d(3,1),d(3,2),都是平方项，或其中某一个是平方项该如何解答呢？

追答

若第三行d(3,1),d(3,2),都是平方项,这时只有：d(1,2)*d(2,3)*d(3,1)*d(4,4) = 1*1*1*（-3）*x^4=-3x^4.排列：2，3，1，4的反序数为：2。(偶数）。故该项前应当附以正号。即为: -3X^4

Answer 2

x^4 只存在于一项中: a11a23a32a44
所以 x^4 的系数为 (-1)^t(1324) *5*1*1*(-3) = 15.

追问

若a(3,1),a(3,2),都是平方项，或其中某一个是平方项该如何解答呢？