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同济 高等数学 第六版 曲线积分 中 全微分方程 问题

同济高数 六版 下册214页 习题11-3 第8题 第(3)小题

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Answer 1

你对积分∫[0,y](xe^y-2y)dy的计算错了, [0,y]表示积分区间.

∫(xe^y-2y)dy=xe^y-y²+C这个地方没错.但你代入积分上下限的时候错了.
代入上限y后为xe^y-y²+C, 代入下限0后为x+C
两者差为xe^y-y²-x
加上前面dx的积分x, 最后结果就是xe^y-y²

Answer 2

曲线积分时的第二个定积分算错了，xe^y从0到y积分时的结果是x(e^y-1)=xe^y-x，-x与前面的x抵消。所以u(x,y)还是xe^y-y^2。
像这种全微分方程，求u(x,y)最简单的方法还是凑微分，把方程改写为
(e^ydx+xe^ydy)-2ydy=0，
(e^ydx+xde^y)-d(y^2)=0，
d(xe^y)-d(y^2)=0
d(xe^y-y^2)=0，
xe^y-y^2=C。