Question

绵阳市2013中考数学

24．（本题满分12分）
如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，-2），交x轴于A、B两点，其中A（-1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D。
（1）求二次函数的解析式和B的坐标；
（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不O
存在，请说明理由。

Answer 1

(1) B(1,0) y=2x^2-2,不解释。
(2)CO=2BO,BD=m-1,所以DP=2(m-1)或(m-1)/2
所以P(m,正负2(m-1))或(m,正负(m-1)/2).
(3)P在第一象限，PQ⊥PB,kPQ*kPB=-1
当P(m,2(m-1))时，kBP=2
设Q(t,2t^2-2),则kPQ=(2t^2-2m)/(t-m)=-1/2;
整理得：4t^2+t-5m=0
因为t>0,所以

t=[(-1)+√(1+80m)]/8;

当P(m,(m-1)/2)时，kBP=1/2
设Q(t,2t^2-2),则kPQ=(2t^2-2-(m-1)/2)/(t-m)=-2
整理得4t^2+4t-5m-3=0

t=[(-1)+√(4+5m)]/2

Q的纵坐标自己代入算一下吧。
方法没错，你稍微验算一下。

追问

（2）p不是在第一象限吗

追答

对呀，第二问算出四个解，其中两个在第一象限。

抱歉，看错了，就两个在第一象限的解。